Académico Luis Pillajo: Matemática Y Física.

MATEMÁTICAS

Indice

Números decimales...................................................... 58 Antes de empezar la unidad ............................................................ 59 1. Números decimales .................................................................. 60 2. Suma y resta de números decimales ......................................... 62 3. Multiplicación de números decimales ...................................... 63 4. División de números decimales ................................................ 64 5. Números decimales y fracciones .............................................. . 66 Lo esencial ..................................................................................... 68 Actividades .................................................................................... 70 5. Números enteros............................................................ 74 Antes de empezar la unidad ............................................................ 75 1. Números enteros ...................................................................... 76 2. Comparación de números enteros . .......................................... . 77 3. Suma y resta de dos números enteros ...................................... 78 4. Suma y resta de varios números enteros ................................... 80 6. Multiplicación y división de números enteros ....................... 82 1. Números naturales........................................................ 6 7. Operaciones combinadas con números enteros .................... 83 Lo esencial .................................................................................. 84 Antes de empezar la unidad ............................................................ 7 Actividades ................................................................................. 86 1. Números naturales. Sistemas de numeración ........................... 8 2. Multiplicación de números naturales ....................................... 11 3. División de números naturales ................................................. 12 4. Potencias de números naturales ............................................... 13 5. Operaciones con potencias ....................................................... 14 6. Raíces cuadradas ...................................................................... 16 7. Jerarquía de las operaciones ..................................................... 17 Lo esencial ..................................................................................... 18 Actividades .................................................................................... 20 2. Divisibilidad.................................................................... 24 Antes de empezar la unidad ............................................................ 25 3. Múltiplos de un número .......................................................... . 26 4. Divisores de un número ........................................................... 27 5. Números primos y compuestos ................................................ 28 6. Factorización de un número .................................................... . 29 7. Máximo común divisor ............................................................ 32 8. Mínimo común múltiplo .......................................................... 33 Lo esencial ..................................................................................... 34 Actividades .................................................................................... 36 3. Fracciones........................................................................ 40 Antes de empezar la unidad ............................................................ 41 6. Iniciación al Álgebra..................................................... 90 1. Números fraccionarios ............................................................. 42 Antes de empezar la unidad ............................................................ 91 2. Fracciones propias e impropias ................................................ 43 1. Lenguaje algebraico ............................................................... 92 3. Fracciones equivalentes ............................................................ 44 2. Expresiones algebraicas ......................................................... 93 4. Comparación de fracciones ...................................................... 47 3. Monomios ............................................................................. 94 5. Suma y resta de fracciones ....................................................... . 49 4. Ecuaciones ............................................................................ 95 6. Multiplicación de fracciones ..................................................... 50 5. Elementos de una ecuación ................................................... 95 7. División de fracciones .............................................................. 50 7. Resolución de ecuaciones de primer grado ........................... 96 . 8. Jerarquía de las operaciones con fracciones .............................. 51 8. Resolución de problemas ...................................................... 97 . Lo esencial ..................................................................................... 52 Lo esencial .................................................................................. 98 Actividades .................................................................................... 54 Actividades ................................................................................. 100301279 _ 0001-0005.indd 2 08/07/11 19:54
3. 7. Sistema Métrico Decimal............................................ 104 11. Perímetros y áreas....................................................... 170 Antes de empezar la unidad ............................................................ 105 Antes de empezar la unidad ............................................................ 171 1. Magnitudes y unidades ............................................................ 106 . 1. Perímetro de un polígono ........................................................ 172 . 2. Unidades de longitud ............................................................... 107 2. Longitud de la circunferencia ................................................... 173 3. Unidades de capacidad ............................................................ 110 . 3. Área de los paralelogramos ....................................................... 174 4. Unidades de masa .................................................................... 111 4. Área de un triángulo ................................................................ 176 . 5. Unidades de superficie ............................................................. 112 5. Área de un trapecio .................................................................. 177 6. Unidades de volumen .............................................................. 114 . 6. Área de un polígono regular ..................................................... 178 Lo esencial ..................................................................................... 116 7. Área del círculo ........................................................................ 178 Actividades .................................................................................... 118 8. Área de una figura plana .......................................................... 179 . Lo esencial ..................................................................................... 180 8. Proporcionalidad numérica. ...................................... 122 Actividades .................................................................................... 182 Antes de empezar la unidad ............................................................ 123 1. Razón y proporción .................................................................. 124 12. Poliedros y cuerpos de revolución......................... 186 2. Relación de proporcionalidad entre dos magnitudes ................ 125 Antes de empezar la unidad ............................................................ 187 3. Porcentajes ............................................................................... 129 2. Poliedros .................................................................................. 188 Lo esencial ..................................................................................... 132 3. Prismas ..................................................................................... 189 Actividades .................................................................................... 134 4. Pirámides ................................................................................. 190 . 5. Poliedros regulares ................................................................... 191 9. Rectas y ángulos............................................................ 138 6. Cuerpos de revolución ............................................................. 192 Lo esencial ..................................................................................... 194 Antes de empezar la unidad ............................................................ 139 Actividades .................................................................................... 196 1. Rectas, semirrectas y segmentos ............................................... 140 2. Ángulos .................................................................................... 142 3. Operaciones con ángulos ......................................................... 144 13. Funciones y gráficas................................................... 200 4. Sistema sexagesimal ................................................................. 146 . Antes de empezar la unidad ............................................................ 201 Lo esencial ..................................................................................... 148 1. Rectas numéricas ...................................................................... 202 Actividades ................................................................................. 150 2. Coordenadas cartesianas .......................................................... 203 3. Funciones ................................................................................. 207 4. Interpretación de gráficas ......................................................... 208 Lo esencial ..................................................................................... 210 Actividades .................................................................................... 212 14. Estadística y Probabilidad........................................ 216 Antes de empezar la unidad ............................................................ 217 2. Tipos de variables ..................................................................... 218 3. Frecuencias. Tablas de frecuencias ........................................... 219 . 4. Gráficos estadísticos ................................................................. 220 6. Sucesos. Espacio muestral ........................................................ 222 8. Regla de Laplace ....................................................................... 223 Lo esencial ..................................................................................... 224 Actividades .................................................................................... 226 10. Polígonos y circunferencia....................................... 154 Antes de empezar la unidad ............................................................ 155 1. Polígonos . ................................................................................ 156 . 2. Triángulos ................................................................................ 158 4. Teorema de Pitágoras ............................................................... 159 5. Cuadriláteros ............................................................................ 160 6. Propiedades de los paralelogramos . ......................................... 161 . 7. Circunferencias ........................................................................ 162 8. Posiciones relativas en el plano ................................................ 163 . 9. Polígonos regulares e inscritos . ................................................ 163 . Lo esencial ..................................................................................... 164

Esquema de unidad La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos. Lectura inicial: Antes de empezar 3 Muestra la Antes de empezar la unidad... la unidad… importancia de lo que LECTURA DE FRACCIONES Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador. Aparece el bloque vas a estudiar Numerador F 5 7 F Denominador de contenidos Fracciones Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresa previos necesarios el denominador como se indica en la siguiente tabla: a través de episodios Denominador Se lee 2 medios 3 tercios cuartos 4 5 quintos 6 sextos 7 séptimos 8 octavos 9 novenos 10 décimos Entre la proporción divina relacionados con la y la humana Da Vinci entró en la sala donde estaba Luca Pacioli Si el denominador es mayor que 10, se lee el número añadiendo la terminación -avos. Las fracciones se utilizan para comprender para expresar cantidades lo que vas a estudiar. examinando las ilustraciones de su libro. 5 historia de las F se lee cinco séptimos incompletas de la unidad. –Vuestro trabajo me parece fantástico, Leonardo 7 F –dijo el fraile ordenando los dibujos geométricos. –Gracias, padre Pacioli –respondió Da Vinci F 2 Matemáticas. Además, mediante e hizo una leve inclinación–. Vuestra obra, se lee dos quintos 5 F La divina proporción, lo merecía. –Acerté al encargaros las ilustraciones Cuando el denominador es mayor que 10: del libro, pues sabía que el tema Se proponen de las proporciones os apasionaría 3 la evaluación inicial, F desde el momento en que me se lee tres onceavos DESCUBRE 11 F enseñasteis el boceto del Hombre LA HISTORIA... de Vitruvio –remarcó Pacioli. actividades que podrás afianzar 1. Aunque Leonardo –Las proporciones humanas que da Vinci es más conocido por Vitruvio recoge en su tratado EVALUACIÓN INICIAL su pintura, se ajustan a los cánones de PLAN DE TRABAJO belleza del arte actual –explicó los contenidos su contribución a las 1 Indica cómo se leen las siguientes fracciones. te invitan a investigar matemáticas también Da Vinci–. ¿Sabéis que 9 3 12 En esta unidad es importante. a) c) e) aprenderás a… la distancia del codo al 4 2 8 Averigua alguna de extremo de la mano es un 5 1 11 • Manejar las distintas sus aportaciones. quinto de la altura de un hombre, b) d) f) repasados. 13 5 15 sobre el personaje de interpretaciones 2. Busca información que la distancia del codo a la axila de una fracción. sobre Luca Pacioli es un octavo o que la longitud 2 Escribe cómo se lee. y los trabajos que a) Una fracción con numerador 3 y denominador 5. • Identificar y hallar de la mano es un décimo? realizó con Leonardo b) Una fracción con numerador 2 y denominador 7. fracciones la lectura da Vinci. equivalentes c) Una fracción con denominador 9 y numerador 4. a una fracción dada. 3. Investiga sobre las d) Una fracción con denominador 6 y numerador 17. aportaciones a las • Comparar y ordenar matemáticas de Luca 1. Escribe en forma de fracción. fracciones. y la importancia de Pacioli y su relación a) Siete novenos. c) Diez doceavos. • Realizar operaciones con las fracciones. b) Dos décimos. d) Trece sextos. con fracciones. sus aportaciones. 41 301279_Unidad03.indd 40-41 05/07/11 08:12 Páginas de contenidos: En ellas 2 Triángulos 4 Teorema de Pitágoras encontrarás los contenidos y procedimientos básicos apoyados Según sean sus lados y sus ángulos, los triángulos se clasifican en: Un triángulo rectángulo es el que tiene un C El triángulo Equilátero: tiene los tres Isósceles: tiene dos Escaleno: tiene los ángulo recto (90°). Los lados que forman el rectángulo es el único ángulo recto se llaman catetos, y el lado ma- b a lados y los tres ángulos lados y dos ángulos tres lados y los tres triángulo que cumple iguales. iguales. ángulos desiguales. yor, hipotenusa. el teorema en gran cantidad de ejemplos resueltos. C C A B de Pitágoras. C a es la hipotenusa, b y c son los catetos. c a=b=c a=b b a T U U b a T U b a Teorema de Pitágoras A=B=C A=B A B En un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa A B A B c c c es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. RECUERDA Acutángulo: tiene los tres ángulos agudos. C Rectángulo: tiene un ángulo recto. C Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso. C ANTES, DEBES SABER… a2 = b2 + c2 En la mayoría de las páginas se incluye la sección ANTES DEBES SABER… La medida de un ángulo se expresa en grados y se mide b a a b a Qué es la raíz cuadrada de un número b con el transportador. A B A B A B La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado c c c es igual al primero. V donde se repasan contenidos A = 70° 4 = 2, porque 22 = 4 62 = 36, entonces 36 = 6 Relaciones entre los lados y los ángulos ANTES, DEBES SABER… EJEMPLOS o procedimientos que debes conocer Cómo se despeja en una ecuación 5 Sabiendo que, en un triángulo rectángulo, los catetos miden DATE CUENTA 3 y 4 cm, respectivamente, ¿cuánto mide la hipotenusa? • Si un término está sumando en x + 2 = 7 " x = 7 - 2 = 5 Conociendo la medida G un miembro, pasa restando al otro. Aplicando el teorema de Pitágoras: Pasa restando de un cateto y la hipotenusa, Y si está restando, pasa sumando. a2 = 32 + 42 " a2 = 9 + 16 = 25 " a = 25 " a = 5 cm podemos hallar el otro al enfrentarte a los nuevos contenidos. 10 • Si un término está multiplicando 2x = 10 " x = =5 cateto: 2 6 En un triángulo rectángulo, un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm. en un miembro, pasa dividiendo al otro. G ¿Cuánto mide el otro cateto? c b Y si está dividiendo, pasa multiplicando. Pasa dividiendo Supongamos que el cateto conocido es b: Esta sección también se refuerza a = 10, b = 6 a Dado un triángulo &, siempre se cumple que: ABC a2 = b2 + c2 - -- 102 = 62 + c2 " 102 - 62 = c2 " c2 = 64 -- " b2 = a2 - c2 " b = a2 - c2 G • La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180°. " c = 64 = 8 cm Pasa restando c2 = a2 - b2 " c = a2 - b2 El otro cateto mide 8 cm. con ejemplos resueltos. EJEMPLO 7 Comprueba si un triángulo cuyos lados miden 6, 9 y 11 cm, respectivamente, puede ser un triángulo rectángulo. 3 Calcula el ángulo que falta. Si es un triángulo rectángulo, se debe cumplir el teorema de Pitágoras: U V V A + B + C = 180° 35° 2 112 = 121 V 35° + 45° + C = 180° V 45° " 112 ! 62 + 92 " No se cumple el teorema de Pitágoras. 62 + 92 = 117 V C Al final de cada página se proponen C = 180° - 80° = 100° No existe un triángulo rectángulo cuyos lados midan 6, 9 y 11 cm. LO QUE DEBES SABER RESOLVER LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Clasifica este triángulo según sus lados y sus ángulos. 3 Calcula el ángulo que falta. V C 110° 30° 17 En un triángulo rectángulo, los catetos miden 5 y 12 cm, respectivamente. ¿Cuánto medirá la hipotenusa? 18 En este triángulo rectángulo, ¿cuánto mide el otro cateto? 7 cm 25 cm ejercicios que debes saber resolver 158 159 a partir de los contenidos aprendidos. 301279_Unidad_10.indd 158-159 05/07/11 08:17301279 _ 0001-0005.indd 4 08/07/11 19:54
5. Lo esencial: Esta doble página Lo esencial es de resumen y autoevaluación. COMPRENDE ESTAS PALABRAS Sistema de numeración decimal División Dividendo Resto F F 25 3 1 8 F F Divisor Cociente 2. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS COMPRENDE ESTAS PALABRAS. D. millar U. millar Centena Decena Unidad Expresa mediante una sola potencia las siguientes operaciones entre potencias. 3 5 1 4 2 Potencia 145 = 14 ? 14 ? 14 ? 14 ? 14 a) 75 ? (72)3 Es el vocabulario matemático F 30 000 5 000 100 40 2 1 4 4 44 2 4 4 44 3 F 5 veces 8 2 b) 4 : (4 ? 4 ) 5 Base Exponente trabajado en esa unidad. Sistema de numeración romano PRIMERO. Resolvemos las operaciones que hay entre paréntesis. I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 Raíz cuadrada 9 = 3, porque 32 = 9 a) 75 ? (72)3 = 75 ? 72?3 = 75 ? 76 C = 100 D = 500 M = 1 000 9 =3 F Raíz b) 48 : (42 ? 45) = 48 : 42+5 = 48 : 47 Símbolo F de raíz F Multiplicación 34 ? 2 = 68 SEGUNDO. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de potencias en el orden en que aparecen, HAZLO DE ESTA MANERA. Son los Factores Producto Radicando de izquierda a derecha. a) 75 ? 76 = 75+6 = 711 b) 48 : 47 = 48-7 = 41 = 4 HAZLO DE ESTA MANERA 1. LEER NÚMEROS ROMANOS 2. CALCULAR UN PRODUCTO 4. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS procedimientos básicos de la unidad. Resuelve: 100 ? (36 - 26) : 5 - 10 : (16 - 6) = PRIMERO. Resolvemos los paréntesis. Cada procedimiento se introduce O COCIENTE DE POTENCIAS Escribe en el sistema numérico decimal F F F F los siguientes números romanos. Expresa, si se puede, con una sola potencia. = 100 ? 10 : 5 - 10 : 10 = SEGUNDO. Efectuamos las multiplicaciones a) 67 ? 65 c) 67 ? 27 e) 67 ? 25 y divisiones en el orden en el que aparecen. F a) XXVII b) IVCXCVI F F F = 1 000 : 5 - 1 = mediante la resolución de una actividad b) 67 : 65 d) 67 : 27 f) 67 : 25 PRIMERO. Transformamos cada letra en F F su equivalencia en el sistema numérico PRIMERO. Estudiamos si son iguales las bases = 200 - 1 = 199 TERCERO. Resolvemos las sumas y restas. decimal, teniendo en cuenta que cada letra o los exponentes de las potencias. en la que aparece una rayita encima, a) y b) 7 y 65 " a base de las dos potencias 6 L se multiplica por 1 000. a) X X V I I 10 10 5 1 1 es la misma, 6. c) y d) 67 y 27 " as bases son distintas, pero L los exponentes iguales, 7. Comprende estas palabras Y AHORA… PRACTICA Calcular un producto o cociente de potencias en la que se muestra, paso a paso, e) y f) 67 y 25 " o son iguales las bases N un método general de resolución. b) I V C X C V I 1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1 ni los exponentes. 1. Escribe un número de cuatro cifras que tenga 6. Expresa, si se puede, con una sola potencia. las mismas unidades de millar que decenas a) 85 : 45 c) 146 ? 23 e) 183 : 36 SEGUNDO. Examinamos los números, SEGUNDO. y una unidad más que centenas. si un número es mayor que su número b) 74 ? 73 d) 214 ? 24 f) 12311 : 1235 • Si las bases son iguales, sumamos anterior, le restamos a este número el anterior. o restamos los exponentes. 2. Completa las expresiones para que sean Y AHORA… PRACTICA. Son actividades ciertas. Realizar operaciones combinadas a) X X V I I a) 67 ? 65 = 67+5 = 612 10 10 5 1 1 a) 8 ? 4 = 88 b) 3 ? 4 = 42 con potencias b) 67 : 65 = 67-5 = 62 b) I V C X C V I 3. En una división, el dividendo es 1 436, el divisor 2. Expresa mediante una sola potencia • Si las bases no son iguales, pero los 1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1 es 27 y el cociente es 53. Calcula el resto. las siguientes operaciones entre potencias. que te permitirán comprobar si dominas 144424443 14243 exponentes sí, multiplicamos o dividimos 5 000 - 1 000 100 - 10 las bases. a) (35)2 : (36 : 34) b) (98 ? 93 : 95) ? 9 : (92)3 4. Expresa en forma de potencia, si se puede. TERCERO. Sumamos los números resultantes. c) 67 ? 27 = (6 ? 2)7 = 127 a) 17 ? 17 ? 17 ? 17 ? 17 b) 13 ? 13 ? 13 ? 12 Realizar operaciones combinadas a) X X V I I " 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27 d) 67 : 27 = (6 : 2)7 = 37 los contenidos esenciales de esa unidad. 10 10 5 1 1 • Si no son iguales las bases ni Leer números romanos 10. Resuelve estas operaciones. b) I V C X C V I los exponentes, no se puede expresar 1. Transforma estos números romanos en a) 7 ? (8 - 3) : 5 + 12 1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1 144424443 14243 como una sola potencia. números del sistema decimal. b) 27 : (9 - 6) - 3 ? 4 : 6 4 000 90 e) 67 ? 25 = 67 ? 25 a) CXXVI b) CMLIX c) IIICDLXXIV c) (12 ? 2 - 18) ? 3 : 6 + (8 - 4) : 2 - 1 4 000 + 100 + 90 + 5 + 1 = 4 196 f) 67 : 25 = 67 : 25 18 19 301279_Unidad01.indd 18-19 06/07/11 11:36 Actividades de la unidad: Ejercicios y problemas organizados Actividades por contenidos. Todos los enunciados NÚMEROS DECIMALES 49. ● Representa en la recta numérica los números 9,3; 12,12 y 4,133. OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES 15. ● ● Determina el término que falta en cada operación. Explica cómo lo haces. 43. ● Descompón en unidades los siguientes van precedidos por un icono que 50. ● ¿Qué número está representado en cada caso? a) 39,25 + 4 = 125,86 números decimales. 12. ● Suma estos números decimales. b) 17,129 - 4 = 7,464 a) Parte entera Parte decimal 3 4 a) 7,45 + 9,03 c) 8,002 + 12,4 c) 99,542 - 4 = 66,413 C D U d c m b) b) 0,834 + 12,8 d) 7 + 9,902 d) 4 - 303,987 = 259,137 indica su grado de dificultad. 43,897 135,903 9,71 8. ● Indica qué números están representados 9,72 56. ● Calcula. a) 32,35 - 0,89 c) 87,65 - 9,47 e) 4 - 25,06 = 427,07 f) 4 + 33,98 = 59,01 29,876 en estas rectas. b) 81,002 - 45,09 d) 4 - 2,956 58. ● ● Completa. HAZLO ASÍ. Son ejercicios resueltos 44. ● Escribe cómo se lee cada número. a) a) 3,313 + 4 = 6,348 6,2 6,3 57. ● Efectúa las operaciones. a) 6,125 b) 1,014 c) 34,046 d) 0,019 b) 4 + 1,47 = 5,8921 b) a) 4,53 + 0,089 + 3,4 9,83 9,84 c) 4,56 - 4 = 0,936 b) 7,8 + 0,067 + 2,09 + 0,7 45. ● Completa. d) 4 - 2,431 = 1,003 que puedes tomar como modelo a) En 3 unidades hay 4 décimas. b) En 12 decenas hay 4 centésimas. c) En 5 unidades hay 4 milésimas. 51. ● Completa con el signo < o >, según corresponda. c) 123 + 23,09 - 45,7 - 0,28 d) 78,098 - 43,68 - 0,008 59. ● ● Resuelve. a) Suma 4 centésimas a 4,157. para afianzar procedimientos a) 0,231 4 0,235 c) 3,87 4 3,85 13. ● Efectúa las siguientes operaciones. b) Resta 3 décimas a 1,892. d) En 8 decenas hay 4 diezmilésimas. c) Suma 7 milésimas a 5,794. b) 0,710 4 0,83 d) 5,12 4 3,12 a) 0,974 + 125,86 c) 82,46 + 99,6 - 70,07 46. ● Escribe los números decimales que b) 29 - 3,756 d) 103,5 - 89,98 + 23,378 d) Resta 23 centésimas a 3,299. correspondan en cada caso. 52. ● Ordena, de menor a mayor: 5,23; 5,203; 5,233; 5,2. e) Suma 3 milésimas a 1,777. trabajados en la unidad. a) 2 C 7 D 9 U 3 d b) 1 D 2 U 4 m c) 7 U 4 c 53. ● Ordena, de mayor a menor: 9,05; 9,45; 9,53; 9,07. HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO EN 16. ● ● Efectúa estas operaciones. a) Suma 8 décimas y 7 centésimas a 56,07. UNA SUMA O UNA RESTA DE NÚMEROS DECIMALES? 9. ● Ordena de menor a mayor. b) Suma 3 unidades y 6 milésimas a 24,36. d) 8 C 9 U 6 d 14. Halla el término que falta para que el resultado c) Resta 8 unidades y 5 décimas a 76,008. e) 7 UM 6 D 7 c a) 3,9; 3,899; 3,099; 3,901; 3,90001; 3,91 sea correcto. d) Resta 3 décimas y 8 milésimas a 0,892. f) 4 CM 7 U 8 d 3 m b) 7,999; 8,01; 7,898; 8,101; 8,2 a) 12,99 + 4 = 98,3 e) Suma 5 decenas y 4 décimas a 25,456. c) 2,7; 2,703; 2,73; 2,7029; 2,70199 b) 7,45 - 4 = 3,99 f) Resta 6 decenas y 5 décimas a 82. 7. ● Realiza la descomposición en unidades de los siguientes números decimales. c) 4 - 7,774 = 987,9 10. ● Copia y completa con números para que a) 9,23 d) 4,065 las desigualdades sean ciertas. PRIMERO. Se identifica el término desconocido. 60. ● Calcula. b) 12,856 e) 8,004 a) 6,145 < 6,11 a) Es uno de los sumandos de una suma. a) 3,45 ? 0,018 g) 0,045 ? 1 000 c) 3,892 f) 65,903 b) 0,734 < 0,736 b) Es el sustraendo de una resta. b) 8,956 ? 14 h) 0,65 ? 10 000 c) 0,407 < 0,45 c) Es el minuendo de una resta. c) 3,4 ? 0,92 i) 3,78 ? 0,1 d) 123,4 ? 76 j) 794,2 ? 0,01 47. ● Escribe con cifras. SEGUNDO. Si el término es: e) 0,35 ? 10 k) 24,85 ? 0,001 a) Nueve décimas. 11. ●● Halla todos los números decimales que • Un sumando, se obtiene restando al resultado cumplen la condición que se indica en cada caso. el otro sumando. f) 1,4 ? 100 l) 56 ? 0,0001 b) Cuatro unidades quince centésimas. Después, ordénalos de mayor a menor. • El sustraendo, se obtiene restando al minuendo 61. ● Resuelve. c) Nueve unidades ciento ocho milésimas. el resultado. a) 8, a) 5 : 0,06 g) 30 : 10 d) Dos unidades mil diezmilésimas. • El minuendo, se obtiene sumando al resultado La suma de estas b) 8 : 1,125 h) 636 : 100 dos cifras es 9. el sustraendo. 48. ● Escribe los números que sean una centésima c) 17,93 : 7 i) 1 296 : 10 000 menor. b) 0, a) 4 = 98,3 - 12,99 = 85,31 d) 7 : 25 j) 55,2 : 0,1 El producto de estas b) 4 = 7,45 - 3,99 = 3,46 a) 0,99 c) 0,01 e) 4,9 e) 7,24 : 1,1 k) 202,2 : 0,01 dos cifras es 24. c) 4 = 987,9 + 7,774 = 995,674 b) 1,4 d) 5,98 f) 1,099 f) 8,37 : 4,203 l) 138,24 : 0,0001 70 71 301279_Unidad_04.indd 70-71 05/07/11 08:25301279 _ 0001-0005.indd 5 08/07/11 19:54
6. 1 Números naturales El profeta de los números Ramanujan se levantó, dio tres pasos que le colocaron en el centro del despacho de Hardy, en el Trinity College de Cambridge, y continuó el relato de su viaje. En un alarde de equilibrio, el barco, un vapor que hace la ruta entre la India e Inglaterra, continuaba su camino sobre una imaginaria línea recta que el temporal parecía querer quebrar. Yo pasé la tormenta en el camarote, petrificado, sin poder hacer otro movimiento que los provocados por el vaivén del barco, apretando contra mi pecho el cuaderno de los descubrimientos mientras pensaba que, tal vez, todo se perdería en el fondo del mar. DESCUBRE La noche avanzaba y el sueño se fue LA HISTORIA... apoderando de mi consciencia, al despertar 1. Busca información las nubes habían dejado paso al sol sobre los personajes y los negros presagios de mi mente habían que aparecen sido sustituidos por estas revelaciones. en el texto: Harold En ese momento, el joven indio le enseñó Hardy y Srinivasa Ramanujan. dos páginas del ajado cuaderno a su interlocutor. 2. ¿A qué episodio de la vida de estos dos El relato del viaje es apasionante pero personajes crees que no se puede comparar con estos corresponde el relato? sorprendentes resultados, ¿A qué viaje se refiere si una inspiración divina el joven Ramanujan? te los ha revelado, 3. Investiga sobre en verdad se puede las aportaciones de decir que eres Srinivasa Ramanujan al estudio de los «el profeta números naturales. de los números».301279 _ 0006-0023.indd 6 08/07/11 20:29
7. Antes de empezar la unidad... OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Suma Resta 5 8 0 6 F Sumando 9 4 2 3 F Minuendo 1 2 4 7 9 F Sumando 2 7 5 6 1 F Sustraendo 8 2 8 5 F Suma o total 1 8 6 2 F Diferencia Multiplicación División 2 4 5 7 F Factor Dividendo F 4 6 9 5 7 4 3 Divisor F 3 6 0 3 F Factor 3 9 5 1 0 9 2 Cociente F 7 3 7 1 0 8 7 .1 4 7 4 2 0 0 1 Resto F 1 4 8 1 5 7 1 F Producto Para restar números Propiedad conmutativa de la suma naturales, el minuendo El orden de los sumandos no altera la suma. tiene que ser mayor 43 + 28 = 28 + 43 = 71 que el sustraendo. Sumandos Suma Propiedad asociativa de la suma El orden en el que agrupamos los sumandos no altera la suma. Sumandos ( 21 + 37 ) + 42 = 21 + (37 + 42) 58 + 42 = 21 + 79 100 = 100 EVALUACIÓN INICIAL PLAN DE TRABAJO 1 Realiza las siguientes operaciones. En esta unidad a) 759 + 3 824 f) 782 ? 450 aprenderás a… b) 8 329 + 4 516 + 738 g) 695 ? 908 • scribir números E c) 4 261 - 569 h) 5 928 : 38 romanos en el sistema d) 20 347 - 865 i) 22 863 : 56 de numeración e) 316 ? 273 j) 64 456 : 179 decimal. 2 Aplica la propiedad conmutativa y opera: 25 + 53 • alcular potencias C de números naturales. 3 Aplica la propiedad asociativa y opera: (11 + 38) + 41 • ealizar operaciones R con potencias. 4 Calcula el término que falta. • ealizar operaciones R a) 62 734 + X = 68 251 c) 584 ? X = 179 288 combinadas con b) X - 5 397 = 8 406 d) X : 143 = 572 números naturales. 7301279 _ 0006-0023.indd 7 08/07/11 20:29
8. Números naturales. 1 Sistemas de numeración Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser humano de contar lo que le rodea. EJEMPLO 1 ¿Cuántos días hay desde el 8 de septiembre hasta el 27 de septiembre? SEPTIEMBRE L M M i J V S D Del 8 al 27 de septiembre hay 19 días. El conjunto de los números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin, porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad a ese número. Para escribir números naturales se utilizan los sistemas de numeración. 1.1 Sistema de numeración decimal En el sistema de numeración decimal se utilizan diez cifras distintas para representar una cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Para expresar números naturales solemos utilizar ANTES, DEBES SABER… el sistema de numeración Cuáles son los órdenes de unidades del sistema decimal. de numeración decimal y sus equivalencias Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad de millón de millón de millón de millar de millar de millar En el sistema de numeración decimal cada 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. 1 D = 10 U 1 C = 10 D = 100 U 1 UM = 10 C = 1 000 U 1 DM = 10 UM = 10 000 U 1 CM = 10 DM = 100 000 U 1 U. de millón = 10 CM = 1 000 000 U 1 D. de millón = 10 U. de millón = 10 000 000 U 1 C. de millón = 10 D. de millón = 100 000 000 U LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Contesta. 2 Copia y completa estas igualdades. a) ¿Cuántas decenas hay en 1 unidad de millar? a) 3 UM = X C d) 7 DM = X C b) ¿Cuántas centenas hay en 1 decena de millar? b) 8 CM = X D e) 6 UM = X D c) ¿Cuántas centenas hay en 1 unidad de millón? c) 3 U. de millón = X DM f) 5 C = X D 8301279 _ 0006-0023.indd 8 08/07/11 20:30
9. ANTES, DEBES SABER… Cómo se descompone un número en sus órdenes de unidades En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número le corresponde un orden de unidades. EJEMPLO 1 Descompón estos números en sus órdenes de unidades. a) 14 = 1 D + 4 U b) 256 = 2 C + 5 D + 6 U c) 1 807 = 1 UM + 8 C + 7 U d) 103 410 = 1 CM + 3 UM + 4 C +1 D e) 3 020 070 = 3 U. de millón + 2 DM + 7 D f) 906 025 000 = 9 C. de millón + 6 U. de millón + 2 DM + 5 UM El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número. EJEMPLO 2 Calcula el valor posicional de las cifras del número 129 098 105. El valor de cada cifra depende de su posición Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad en el número. de millón de millón de millón de millar de millar de millar 1 2 9 0 9 8 1 0 5 129 098 105 F 5 Unidades F 0 Decenas F 1 Centena = 100 unidades F 8 Unidades de millar = 8 000 unidades F 9 Decenas de millar = 90 000 unidades F 0 Centenas de millar F 9 Unidades de millón = 9 000 000 unidades F 2 Decenas de millón = 20 000 000 unidades F 1 Centena de millón = 100 000 000 unidades LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Señala el valor de la cifra 5 en estos números. 3 Indica cómo se leen los números representados en estos ábaco. a) 15 890 900 b) 509 123 780 c) 163 145 900 a) b) 2 Escribe tres números que tengan 4 unidades de millar, 7 decenas y 4 unidades. 4 Escribe cinco números cuya cifra de las centenas de millón sea 7 y otros cinco cuya cifra DM UM C D U DM UM C D U de las centenas de millar sea 9. 9301279 _ 0006-0023.indd 9 08/07/11 20:30
10. 1.2 Sistema de numeración romano Aunque habitualmente para Para expresar cantidades mediante el sistema de numeración romano escribir números naturales se utilizan siete letras distintas con estos valores: utilizamos el sistema I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 de numeración decimal, C = 100 D = 500 M = 1 000 a lo largo de la historia se han empleado otros El sistema de numeración romano es aditivo, es decir, cada letra tiene sistemas de numeración. siempre el mismo valor. Reglas para escribir números en el sistema de numeración romano • uma. Una letra escrita a la derecha de otra de igual o mayor valor, le S suma a esta su valor. XVI = 10 + 5 + 1 = 16 CLV = 100 + 50 + 5 = 155 • epetición. Las letras I, X, C y M se pueden escribir hasta tres veces R seguidas. Las demás letras no se pueden repetir. III = 3 XXX = 30 CCC = 300 • ustracción. La letra I escrita a la izquierda de V o X, la X a la izquierda S de L o C, y la C a la izquierda de D o M, les resta a estas su valor. IV = 5 - 1 = 4 XC = 100 - 10 = 90 CM = 1 000 - 100 = 900 • ultiplicación. Una raya colocada encima de una letra o grupo de letras M multiplica su valor por mil. VI = 6 000 VI = 5 001 XL = 40 000 EJEMPLOS 3 Expresa estos números romanos en el sistema decimal. a) LXV " 50 + 10 + 5 = 65 b) XXI " 10 + 10 + 1 = 21 c) CCVII " 100 + 100 + 5 + 1 + 1 = 207 d) MDIII " 1 000 + 500 + 1 + 1 + 1 = 1 503 e) IX " 10 - 1 = 9 f) XLVII " 50 - 10 + 5 + 1 + 1 = 47 g) VCCCXL " 5 ? 1 000 + 100 + 100 + 100 + 50 - 10 = 5 340 3 Expresa las siguientes cantidades como números romanos: 14 = XIV 94 = XCIV 119 = CXIX 895 = DCCCXCV 2 011 = MMXI 9 141 = IXCXLI LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Traduce al sistema de numeración decimal: 6 Escribe en números romanos. a) XCII d) CDXXIII g) MMMCCVI a) 194 d) 12 311 g) 265 b) DCCXL e) CMXXI h) DCCIX b) 426 e) 3 h) 1 569 c) VIIIIX f) XXIX i) LXIX c) 2 046 f) 14 i) 2 427 10301279 _ 0006-0023.indd 10 08/07/11 20:30
11. Multiplicación 2 de números naturales La multiplicación es la expresión abreviada de una suma de varios su- El producto de dos mandos iguales. números se indica por Los términos de la multiplicación se denominan factores. El resultado un punto (·), aunque también final se llama producto. se puede representar por el signo x. 12 · 7 = 12 x 7 EJEMPLOS 4 Expresa como un producto. a) 3 + 3 + 3 + 3 = 3 ? 4 = 12 b) 12 + 12 = 12 ? 2 = 24 5 Colocamos en una báscula 5 sacos de patatas que pesan 75 kg cada uno. ¿Qué peso marcará la báscula? 75 + 75 + 75 + 75 + 75 = 75 ? 5 = 375 . La báscula marcará 375 kg. Factores Producto La multiplicación cumple las siguientes propiedades: • onmutativa. El orden de los factores no altera el producto. C 5 ? 7 = 7 ? 5 35 = 35 • sociativa. El orden en el que agrupamos los factores no altera el A producto. (4 ? 7) ? 5 = 4 ? (7 ? 5) 28 ? 5 = 4 ? 35 140 = 140 • lemento neutro o unidad. Es el 1, ya que cualquier número mul- E tiplicado por 1 es igual al mismo número. 13 ? 1 = 13 • istributiva. El producto de un número por una suma o resta es D igual a la suma o resta de los productos del número por cada término. 3 ? (2 + 5) = 3 ? 2 + 3 ? 5 4 ? (8 - 3) = 4 ? 8 - 4 ? 3 3 ? 7 = 6 + 15 4 ? 5 = 32 - 12 21 = 21 20 = 20 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Expresa como un producto. 11 Mario ha comprado 5 cajas de pinturas. a) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 Si en cada caja hay 18 pinturas, ¿cuántas pinturas tiene en total? b) 11 + 11 + 11 + 11 + 11 c) 13 + 13 + 13 5 Una docena de huevos son 12 huevos. 10 Aplica la propiedad distributiva. ¿Cuántos huevos hay en 2 docenas de huevos? a) 7 ? (4 + 10) b) 18 ? (7 - 2) ¿Y en 8 docenas de huevos? ¿Y en 32 docenas? 11301279 _ 0006-0023.indd 11 08/07/11 20:30
12. División 3 de números naturales Dividir es repartir una cantidad en partes iguales. Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente y resto. En una división, el resto siempre tiene que ser menor que el divisor. EJEMPLO 6 Un padre quiere repartir 630 € entre sus tres hijos en partes iguales. ¿Qué cantidad recibirá cada uno? 630 3 03 210 F Cada hijo recibirá 210 €. 000 • Cuando el resto es cero, la división es exacta. Dividendo D d F Divisor F Resto 0 c F Cociente F • Si el resto no es cero, la división es no exacta. Dividendo D d F Divisor F Resto r c F Cociente F En ambos casos se cumple que: Dividendo = divisor ? cociente + resto A esta igualdad se le llama prueba de la división. EJEMPLO 7 Se quieren repartir 43 caramelos entre 14 niños. ¿Cuántos caramelos recibirá cada niño? ¿Sobra alguno? 43 14 01 3 F Cada niño recibirá 3 caramelos y sobra 1 caramelo. Para comprobar que la división es correcta, primero vemos que el resto es menor que el divisor, 1 < 14, y después realizamos la prueba de la división: D = d ? c + r " 43 = 14 ? 3 + 1 43 = 42 + 1 43 = 43 Esto significa que hemos realizado bien la división. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 13 Halla el cociente y el resto de la división 7 Un barco lleva 56 contenedores en los que 6 712 : 23. Haz la prueba. se ha metido el mismo peso en cada uno. Si el peso de la carga total es 85 288 kg, 6 Determina cuáles de estas divisiones son ¿cuál es el peso de cada contenedor? exactas y calcula el cociente de cada una de ellas. a) 1 416 : 18 c) 3 182 : 37 e) 8 205 : 13 14 Calcula el dividendo de una división exacta b) 2 470 : 26 d) 1 445 : 85 f) 4 002 : 22 si el cociente es 13 y el divisor es 6. 12301279 _ 0006-0023.indd 12 08/07/11 20:30
13. Potencias 4 de números naturales Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales: base an = a ? a ? a ? … ? a 34 F 144 244 3 4 4 F n veces exponente a es la base, el factor que se repite. n es el exponente, el número de veces que se repite la base. 2 ? 2 = 22 " Se lee «2 elevado a 2» o «2 al cuadrado». 3 4?4?4=4 " Se lee «4 elevado a 3» o «4 al cubo». 4 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 3 " Se lee «3 elevado a 4» o «3 a la cuarta». EJEMPLOS 8 Escribe en forma de potencia las siguientes multiplicaciones: Multiplicación Potencia Se lee 6 5?5?5?5?5?5 5 «5 elevado a 6» o «5 a la sexta» 3 14 ? 14 ? 14 14 «14 elevado a 3» o «14 al cubo» 9 Halla el valor de estas potencias. Y a) 23 = 2 ? 2 ? 2 = 8 b) 92 = 9 ? 9 = 81 c) 34 = 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 81 14 24 3 4 4 F 3 veces F 2 veces F 4 veces Potencias de base 10 Una potencia de base 10 y exponente un número natural es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique su exponente. CALCULADORA EJEMPLO Para hallar potencias con la calculadora utilizamos 10 Halla el valor de las siguientes potencias de base 10. la tecla x y . X a) 103 = 10 ? 10 ? 10 = 1 000 b) 105 = 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 = 100 000 56 " 5 x y 6 = 15625 14 24 3 4 4 1 4444 2 4444 3 3 veces 3 ceros 5 veces 5 ceros 212 " 2 x y 12 = 4096 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Escribe y calcula. 18 Escribe en forma de potencia y calcula su valor. a) Siete al cubo. c) Diez a la cuarta. a) 10 ? 10 ? 10 b) 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 b) Cuatro a la quinta. d) Diez a la octava. 8 Escribe como producto estas potencias 17 Indica la base y el exponente de estas y calcula su valor. potencias. Escribe cómo se leen. a) 74 c) 85 e) 26 6 2 4 5 a) 3 b) 10 c) 5 d) 4 3 b) 5 d) 58 f) 62 13301279 _ 0006-0023.indd 13 08/07/11 20:30
14. Operaciones 5 con potencias Las potencias cumplen una serie de propiedades, independientemente de cuál sea el valor de la base y del exponente. ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresa un número como una potencia con exponente 1 Cualquier número es igual a una potencia con base ese número y exponente 1. 2 = 21 5 = 51 16 = 161 5.1 Producto de potencias de la misma base Para que se puedan aplicar las propiedades del producto Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene y el cociente, las potencias la misma base y se suman los exponentes. han de tener la misma base. am ? an = am+n 5 • 7 " No se puede 3 4 expresar como una sola EJEMPLO potencia. 4 Escribe estos productos de potencias como una sola potencia. a) 25 ? 23 = 25+3 = 28 d) 25 ? 23 ? 26 = 25+3+6 = 214 b) 57 ? 52 = 57+2 = 59 e) 57 ? 52 ? 5 = 57+2+1 = 510 c) 43 ? 4 = 43+1 = 44 f) 43 ? 4 ? 4 = 43+1+1 = 45 5.2 Cociente de potencias de la misma base Para dividir dos potencias con la misma base, se mantiene la misma base y se restan los exponentes. am : an = am-n EJEMPLO 5 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia. a) 25 : 23 = 25-3 = 22 d) 29 : 23 = 29-3 = 26 b) 57 : 52 = 57-2 = 55 e) 67 : 63 = 67-3 = 64 c) 43 : 4 = 43-1 = 42 f) 45 : 42 = 45-2 = 43 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Escribe como una sola potencia. 24 Halla el resultado de estos cocientes 4 a) 7 ? 7 5 3 c) 9 ? 9 ? 95 4 de potencias. b) 53 ? 53 d) 42 ? 43 ? 44 a) 78 : 75 c) 97 : 95 b) 206 : 204 d) 127 : 125 21 Halla el valor de estos productos de potencias. 26 Calcula. 4 5 3 2 a) 10 ? 10 b) 10 ? 10 ? 10 a) (34 : 32) ? 33 b) (56 ? 52) : 54 14301279 _ 0006-0023.indd 14 08/07/11 20:30
15. 5.3 Potencias de exponente 1 y 0 • Una potencia de exponente 1 es igual a la base " a1 = a. • Una potencia de exponente 0 es igual a 1 " a0 = 1. EJEMPLO 6 Calcula estas potencias. a) 20 = 1 c) 70 = 1 e) 240 = 1 b) 21 = 2 d) 71 = 7 f) 241 = 24 5.4 Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes. (am)n = am?n EJEMPLO 7 Calcula estas potencias. a) (23)4 = 23?4 = 212 b) (54)6 = 54?6 = 524 Utilizando esta propiedad 5.5 Potencia de una multiplicación y una división en sentido inverso se pueden simplificar los cálculos. • a potencia de una multiplicación es igual al producto de las po- L tencias de sus factores. 54 · 24 = (5 · 2)4 = 104 (a ? b)n = an ? bn 63 : 23 = (6 : 2)3 = 33 • a potencia de una división es igual al cociente de las potencias del L dividendo y el divisor. (a : b)n = an : bn EJEMPLO 8 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia. a) (4 ? 2)3 = 43 ? 23 = 64 ? 8 = 512 b) (10 : 5)3 = 103 : 53 = 1 000 : 125 = 8 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 25 Calcula el valor de las potencias. 30 Expresa como producto o cociente de potencias. a) 151 b) 140 a) 3 ? 2)4 ? (3 ? 2)5 ( b) (14 ? 5)7 : (14 ? 5)4 28 Calcula. 9 Calcula el valor de estas potencias. 4 3 5 a) (2 ) c) (14 ? 16) a) (74)2 ? 73 c) (2 ? 6)7 ? 123 b) (63)5 d) (216 : 24)3 b) (53)7 : 58 d) (6 ? 3)9 : 185 15301279 _ 0006-0023.indd 15 08/07/11 20:30
16. Raíces 6 cuadradas CALCULADORA 6.1 Raíz cuadrada exacta Para hallar una raíz La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b tal que, cuadrada con la calculadora al elevarlo al cuadrado, obtenemos el número a. utilizamos la tecla . 361 a = b, cuando b2 = a " 361 19 1296 " 1 296 36 Llamamos radicando al número a, Símbolo F a =b F Raíz de raíz F es el símbolo de la raíz y decimos que b es la raíz cuadrada de a. Radicando A los números cuya raíz cuadrada es exacta se les denomina cuadrados perfectos. EJEMPLOS 18 Halla las raíces de los siguientes cuadrados perfectos. Como 4 = 2 porque 22 = 4, decimos a) 1 = 1 porque 12 = 1 h) 64 = 08 porque 82 = 64 que la raíz cuadrada b) 4 = 2 porque 22 = 4 i) 81 = 09 porque 92 = 81 es la operación inversa de elevar al cuadrado. c) 9 = 3 porque 32 = 9 j) 100 = 10 porque 102 = 100 d) 16 = 4 porque 42 = 16 k) 121 = 11 porque 112 = 121 e) 25 = 5 porque 52 = 25 l) 144 = 12 porque 122 = 144 f) 36 = 6 porque 62 = 36 m) 169 = 13 porque 132 = 169 g) 49 = 7 porque 72 = 49 n) 196 = 14 porque 142 = 196 19 El área de un cuadrado es 49 cm2. ¿Cuánto mide el lado? 4 " l2 = 49 " l = 49 cm2 l Área = l $ l = l2 49 = 7 Área = 49 cm2 l El lado mide 7 cm. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 32 Comprueba si estas raíces cuadradas están 34 Calcula el lado de un cuadrado de 400 cm2 bien resueltas. de área. a) 225 = 15 c) 1 000 = 100 10 Calcula el radicando de estas raíces sabiendo b) 255 = 16 d) 40 000 = 200 que son raíces cuadradas exactas. Comprueba 33 Halla con tu calculadora. que el radicando al cuadrado es igual a la raíz. a) 289 c) 15 625 a) d = 3 c) d = 10 b) 10 000 d) 135 424 b) d = 7 d) d = 14 16301279 _ 0006-0023.indd 16 08/07/11 20:30
17. Jerarquía 7 de las operaciones ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones combinadas de suma y resta • Para calcular una serie de sumas y restas sin paréntesis, se hacen las operaciones en el orden en el que aparecen, de izquierda a derecha. • Para calcular una serie de sumas y restas con paréntesis, se hacen primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis. EJEMPLO 9 Resuelve estas operaciones. a) 15 + 23 - 2 - 12 + 8 = b) (95 - 32) - (39 - 16) - 21 = F F F F F F = 38 - 2 - 12 + 8 = = 63 - 23 - 21 = F F F F = 36 - 12 + 8 = = 40 - 21 = F F F F = 24 +8= = 19 F F = 32 Cuando en una expresión aparecen operaciones combinadas, el orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente: 1.º operaciones que hay entre paréntesis. Las 2.º potencias y las raíces. Las 3.º multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha. Las 4.º sumas y las restas, de izquierda a derecha. Las EJEMPLO 22 Calcula las siguientes expresiones. a) 10 + 3 ? 7 - 14 : 7 = c) 5 ? (16 - 9) + 3 ? (4 : 2) : 2 = F F F F F F F F = 10 + 21 - 2 = = 5 ? 7 + 3 ? 2 2 = : F F F F F F = 31 - 2 = = 35 + 6 2 = : F F F F = 29 = 35 + 3 = 38 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Resuelve estas operaciones. 41 Calcula. a) 17 - 8 - 2 + 6 + 5 - 10 a) 7 ? 4 - 12 + 3 ? 6 - 2 b) 17 - (8 - 2) + 6 + 5 - 10 b) (11 - 7) ? 4 + 2 ? (8 + 2) c) 17 - (8 - 2 + 6) + 5 - 10 c) 3 ? (14 + 12 - 20) : 9 + 2 17301279 _ 0006-0023.indd 17 08/07/11 20:30
18. Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Sistema de numeración decimal División Dividendo F 25 3 F Divisor D. millar U. millar Centena Decena Unidad Resto F 1 8 F Cociente 3 5 1 4 2 Potencia 145 = 14 ? 14 ? 14 ? 14 ? 14 F 30 000 5 000 100 40 2 1 4444 2 4444 3 F 5 veces Base Exponente Sistema de numeración romano I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 Raíz cuadrada 9 = 3, porque 32 = 9 C = 100 D = 500 M = 1 000 9 =3 F Raíz Símbolo F de raíz F Multiplicación 34 ? 2 = 68 Factores Producto Radicando HAZLO DE ESTA MANERA 1. LEER NÚMEROS ROMANOS 2. CALCULAR UN PRODUCTO O COCIENTE DE POTENCIAS Escribe en el sistema numérico decimal los siguientes números romanos. Expresa, si se puede, con una sola potencia. a) XXVII b) IVCXCVI a) 67 ? 65 c) 67 ? 27 e) 67 ? 25 7 5 7 7 b) 6 : 6 d) 6 : 2 f) 67 : 25 PRIMERO. Transformamos cada letra en su equivalencia en el sistema numérico PRIMERO. Estudiamos si son iguales las bases decimal, teniendo en cuenta que cada letra o los exponentes de las potencias. en la que aparece una rayita encima, a) y b) 7 y 65 " a base de las dos potencias 6 L se multiplica por 1 000. es la misma, 6. a) X X V I I c) y d) 67 y 27 " as bases son distintas, pero L 10 10 5 1 1 los exponentes iguales, 7. 7 5 b) I V C X C V I e) y f) 6 y 2 " o son iguales las bases N 1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1 ni los exponentes. SEGUNDO. Examinamos los números, SEGUNDO. si un número es mayor que su número • i las bases son iguales, sumamos S anterior, le restamos a este número el anterior. o restamos los exponentes. a) X X V I I a) 67 ? 65 = 67+5 = 612 10 10 5 1 1 b) 67 : 65 = 67-5 = 62 b) I V C X C V I • i las bases no son iguales, pero los S 1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1 144424443 14243 exponentes sí, multiplicamos o dividimos 5 000 - 1 000 100 - 10 las bases. TERCERO. Sumamos los números resultantes. c) 67 ? 27 = (6 ? 2)7 = 127 a) X X V I I " 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27 d) 67 : 27 = (6 : 2)7 = 37 10 10 5 1 1 • i no son iguales las bases ni S b) I V C X C V I los exponentes, no se puede expresar 1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1 144424443 14243 como una sola potencia. 4 000 90 e) 67 ? 25 = 67 ? 25 4 000 + 100 + 90 + 5 + 1 = 4 196 f) 67 : 25 = 67 : 25 18301279 _ 0006-0023.indd 18 08/07/11 20:30
19. 2. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS Expresa mediante una sola potencia las siguientes operaciones entre potencias. a) 75 ? (72)3 b) 48 : (42 ? 45) PRIMERO. Resolvemos las operaciones que hay entre paréntesis. 5 2 3 5 2?3 a) 7 ? (7 ) = 7 ? 7 = 75 ? 76 b) 48 : (42 ? 45) = 48 : 42+5 = 48 : 47 SEGUNDO. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de potencias en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. a) 75 ? 76 = 75+6 = 711 b) 48 : 47 = 48-7 = 41 = 4 4. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS Resuelve: 100 ? (36 - 26) : 5 - 10 : (16 - 6) = PRIMERO. Resolvemos los paréntesis. F F F F = 100 ? 10 : 5 - 10 : 10 = SEGUNDO. Efectuamos las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen. F F F F = 1 000 : 5 - 1 = F F = 200 - 1 = 199 TERCERO. Resolvemos las sumas y restas. Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras Calcular un producto o cociente de potencias 1. Escribe un número de cuatro cifras que tenga 6. Expresa, si se puede, con una sola potencia. las mismas unidades de millar que decenas a) 85 : 45 c) 146 ? 23 e) 183 : 36 y una unidad más que centenas. b) 74 ? 73 d) 214 ? 24 f) 12311 : 1235 2. Completa las expresiones para que sean ciertas. Realizar operaciones combinadas a) 8 ? 4 = 88 b) 3 ? 4 = 42 con potencias 3. En una división, el dividendo es 1 436, el divisor 2. Expresa mediante una sola potencia es 27 y el cociente es 53. Calcula el resto. las siguientes operaciones entre potencias. a) (35)2 : (36 : 34) b) (98 ? 93 : 95) ? 9 : (92)3 4. Expresa en forma de potencia, si se puede. a) 17 ? 17 ? 17 ? 17 ? 17 b) 13 ? 13 ? 13 ? 12 Realizar operaciones combinadas Leer números romanos 10. Resuelve estas operaciones. 1. Transforma estos números romanos en a) 7 ? (8 - 3) : 5 + 12 números del sistema decimal. b) 27 : (9 - 6) - 3 ? 4 : 6 a) CXXVI b) CMLIX c) IIICDLXXIV c) (12 ? 2 - 18) ? 3 : 6 + (8 - 4) : 2 - 1 19301279 _ 0006-0023.indd 19 08/07/11 20:30
20. Actividades SISTEMAS DE NUMERACIÓN OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES 12. ● Señala el valor de la cifra 5 en cada uno de los siguientes números. 57. ● Aplica la propiedad distributiva y calcula. a) 15 890 900 c) 509 123 780 e) 163 145 900 a) 6 ? (11 + 4) d) 15 ? (20 - 7 - 8) b) 54 786 008 d) 64 320 510 f) 986 403 005 b) 25 ? (37 - 12) e) (20 + 14 - 15) ? 17 c) 8 ? (17 + 12 + 10) f) (18 + 3 - 2) ? 5 48. ● Indica el valor posicional que tiene la cifra 1 58. ● Completa la tabla. en estos números. a) 122 578 c) 1 432 000 e) 1 010 101 Dividendo Divisor Cociente Resto b) 438 231 d) 32 181 120 f) 3 107 251 173 3 267 4 49. ●● Indica el valor posicional de todas las cifras de estos números. 1 329 9 a) 987 654 c) 887 787 e) 8 080 008 59. ● Halla el cociente y el resto de 45 456 : 22. b) 656 565 d) 3 004 005 f) 2 222 222 Realiza la prueba de la división. 13. ● Escribe: 15. ● Resuelve estas divisiones y realiza la prueba. • Cinco números mayores que 20 000 cuya cifra a) 327 : 22 c) 9 255 : 37 e) 29 001 : 132 de las unidades de millar sea 8. b) 4 623 : 18 d) 12 501 : 59 f) 36 102 : 205 • Cinco números menores que 100 000 cuya cifra de las decenas de millar sea 3. • Cinco números mayores que 29 000 y menores HAZLO ASÍ que 29 100 con la cifra de las decenas igual a la cifra de las unidades. ¿CÓMO SE CALCULA UN TÉRMINO DE LA DIVISIÓN CONOCIENDO LOS DEMÁS? Ordena los números en cada caso, de menor a mayor, utilizando el signo correspondiente. 60. Sin realizar la división, halla el resto de 453 : 23, si el cociente es 19. 54. ● Expresa en el sistema de numeración decimal PRIMERO. Se sustituye cada letra por su valor estos números romanos. en la prueba de la división. a) XXVI c) MCCXXV D = d ? c + r b) DCXLVI d) DXXX 453 = 23 ? 19 + r " 453 = 437 + r 55. ●● Expresa los siguientes números romanos SEGUNDO. El resto es un número tal que, en el sistema de numeración decimal. al sumarlo a 437, da 453. a) XIX c) MMCCIX r = 453 - 437 = 16. El resto de la división es 16. b) CDXL d) CMXC 56. ● Expresa en el sistema de numeración decimal. 61. ● ● El dividendo de una división es 1 512, a) XLVI f) IVCDXXX el divisor es 8 y el cociente es 189. Halla el resto sin efectuar la división. b) CXCII g) DCCXCIII c) CMXXXIV h) MMCCII 62. ● ● Sin realizar la división, indica cuáles d) XXXIV i) XCXL de estas divisiones son exactas. e) MMMDLXXX j) MXXIX D a) = 6 099 d = 19 c = 321 r=? D b) = 986 d = 17 c = 58 r=? 14. ● Escribe en números romanos. a) 7 b) 22 c) 74 d) 143 e) 3 002 16. ● ¿Qué resto puede tener una división de divisor 7? 20301279 _ 0006-0023.indd 20 08/07/11 20:30
21. POTENCIAS 75. ● ● Completa. a) 92 ? 9 4 = 96 c) 5 4 ? 53 = 58 65. ● Escribe como producto de factores. b) 2 4 ? 23 = 29 d) 3 4 ? 39 = 311 a) 43 b) 104 c) 272 d) 1025 76. ● ● Completa. 66. ● Expresa estas multiplicaciones en forma a) 74 ? 74 ? 7 = 77 c) 13 ? 136 ? 134 = 139 de potencia, si se puede. b) 54 ? 5 ? 53 = 58 d) 83 ? 85 ? 84 = 812 a) 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 b) 37 ? 37 79. ● Expresa como una sola potencia. c) 4 ? 14 ? 4 ? 14 ? 4 ? 14 ? 4 a) 68 : 63 b) 215 : 27 c) 65 : 35 d) 46 : 26 d) 25 80. ● Expresa como una potencia. 67. ● Indica cuál es la base y el exponente. a) (27 : 24) : 22 c) 115 : (116 : 113) a) 28 Base = 4 Exponente = 4 b) (79 : 73) : 74 d) 43 : (45 : 42) b) 312 Base = 4 Exponente = 4 81. ● ● Completa. 68. ● Expresa con números. a) 47 : 53 = 54 c) 95 : 94 = 93 a) Once a la quinta. b) Nueve a la cuarta. b) 124 : 126 =129 d) 38 : 34 = 32 69. ● Escribe cómo se leen estas potencias. 84. ● Expresa como una potencia. a) 123 b) 74 c) 212 d) 1412 a) (54)2 b) (73)3 c) (65)2 d) (82)6 71. ● Completa la tabla. 91. ● ● Calcula. Al cuadrado Al cubo A la cuarta a) (35 ? 32) : 33 c) (85 : 83) ? 82 9 b) 43 ? (47 : 44) d) 75 : (72 ? 72) 11 92. ● ● Resuelve. a) (35)2 ? (32)4 c) (95)3 ? (94)3 OPERACIONES CON POTENCIAS b) (73)3 ? (72)4 d) (116)2 ? (113)4 93. ● ● Indica como una sola potencia. 73. ● Expresa como una sola potencia. a) (62)5 : (63)3 c) (108)3 : (104)5 a) 72 ? 73 b) 114 ? 84 c) 83 ? 53 d) 45 ? 4 b) (87)2 : (83)4 d) (29)2 : (23)5 74. ● Escribe como una sola potencia. a) 32 ? 34 ? 33 c) 63 ? 62 ? 65 94. ● ● Calcula las siguientes expresiones. b) 54 ? 5 ? 56 d) 43 ? 53 ? 63 a) 39 : ((32)5 : 37) ? 33 b) (72)3 ? (75 : 72) : (72)4 HAZLO ASÍ RAÍCES CUADRADAS ¿CÓMO SE CALCULA UN EXPONENTE DESCONOCIDO EN UN PRODUCTO DE POTENCIAS? 95. ● Completa. 17. Copia y completa: 32 ? 3X = 38 a) 352 = 1 225, entonces 1225 = 4 b) 9 025 = 95, entonces 952 = 4 PRIMERO. Se aplican las propiedades de las potencias. 3 ? 3 = 38 " 32+X = 38 2 X 96. ● Calcula las raíces cuadradas de estos números. SEGUNDO. Se igualan los exponentes. a) 64 b) 100 c) 169 d) 196 2+4=8 97. ● Completa. El número que sumado a 2 da 8 es 6. El exponente a) 4 = 5 c) 4 = 15 buscado es 6. b) 4 = 9 d) 4 = 20 21301279 _ 0006-0023.indd 21 08/07/11 20:30
22. JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES 106. ● Calcula el valor de estas expresiones. a) 3 ? (100 - 90) + 12 ? (5 + 2) 18. ● Realiza las siguientes operaciones. b) 7 ? (26 : 2) - (6 : 3) ? 6 + 4 a) 31 - 20 + 15 - 4 c) 66 : (15 - 9) + 7 ? (6 : 2) - 12 : 2 b) 12 + 7 - 8 - 5 + 14 d) 7 ? (4 + 8 - 5) : (12 - 5) + 7 ? (8 - 6 + 1) c) 17 - 9 - 5 + 24 e) 3 ? (15 : 3 - 2) + (8 + 20) : 4 - 1 d) 49 + 7 - 54 - 2 + 25 f) 38 - (30 : 6 + 5) ? 2 - 6 ? 3 : 2 e) 59 + 45 - 76 - 12 + 51 g) 8 ? (28 - 14 : 7 ? 4) : (22 + 5 ? 5 - 31) f) 123 + 12 -17 - 23 - 9 + 12 h) [200 - 3 ? (12 : 4 - 3)] - 6 + 37 - 35 : 7 107. ● Calcula mentalmente el número que falta. 19. ● Calcula. a) 3 ? 5 + 3 ? 4 = 60 a) (34 + 12 - 9) - (34 - 19) b) 13 ? 40 - 13 ? 4 = 260 b) 123 - (67 + 34 - 21) c) 15 ? 4 + 7 ? 4 - 15 ? 6 = 150 c) (29 + 78 - 54 - 32) - (9 + 5) d) (89 + 23 - 76) - (41 + 12 - 32) e) 345 - (90 - 76 - 8 + 43) PROBLEMAS CON NÚMEROS f) 567 - (23 + 65 - 12 - 45) NATURALES 20. ● Calcula y relaciona las operaciones que dan HAZLO ASÍ el mismo resultado. a) 24 - 8 + 18 - 6 i) (24 + 6) - (8 + 16) ¿CÓMO SE RESUELVE UN PROBLEMA EN EL QUE LOS DATOS ESTÁN RELACIONADOS? b) 34 + 78 - 12 - 17 ii) (24 + 18) - (8 + 6) c) 34 + 78 + 7 - 65 - 12 iii) (34 + 78 + 7) - (65 + 12) 116. La factura telefónica del mes pasado fue d) 24 - 8 - 16 + 6 iv) (34 + 78) - (12 + 17) de 34 €, la de este mes ha sido 5 € más cara y la de hace dos meses fue 4 € menos. ¿A cuánto ha ascendido el gasto en teléfono 102. ● Resuelve estas operaciones. en los últimos tres meses? a) 9 ? (15 + 4 - 7) PRIMERO. Se toma el dato conocido del problema. b) 12 + 4 ? (3 + 19) «El mes pasado» " 34 € c) 55 - 3 ? (27 - 9) SEGUNDO. Se calculan los demás datos del problema. d) 33 + 6 ? 5 + 21 «Este mes 5 € más» " 34 + 5 = 39 € «Hace dos meses 4 € menos» " 34 - 4 = 30 € 103. ● Calcula. TERCERO. Se resuelve el problema. a) 15 + (12 + 6) : 3 34 + 39 + 30 = 103 € b) 31 - (13 + 8) : 7 El gasto en teléfono ha sido de 103 €. c) 4 + 15 : 5 + 17 d) 42 - (3 + (32 : 4) : 2) 117. ● ● En un partido 104. ● Realiza estas operaciones. de baloncesto, los a) 8 ? 3 + 36 : 9 + 5 máximos anotadores b) 144 : (24 : 6) + 4 ? 7 han sido Juan, Jorge c) 48 - 5 ? 7 + 9 ? 3 - 19 y Mario. Juan ha logrado 19 puntos, d) 14 - 21 : 7 + 105 : 5 Jorge 5 puntos más 105. ● Resuelve. que Juan y Mario 7 puntos menos a) 42 ? 3 - 124 : 4 - (180 : 9) : 5 que Jorge. b) (241 - 100 + 44) : 5 + 20 ? 7 ¿Cuántos puntos c) 7 + 8 ? (17 - 5) - 28 : 2 han obtenido entre d) (12 + 3 ? 5) : 9 + 8 los tres? 22301279 _ 0006-0023.indd 22 08/07/11 20:30
23. 118. ●● Si ganase 56 € más al mes podría gastar: 127. ●● Vamos a repartir 720 € entre tres personas 420 € en el alquiler de la casa, 102 € en gasolina y se sabe que la primera recibirá 280 €. para el coche, 60 € en la manutención ¿Cuánto recibirán las otras dos si el resto y 96 € en gastos generales, y ahorraría 32 €. se reparte en partes iguales? ¿Cuánto gano al mes? 128. ●● Nacho y Ana están preparando una fiesta 119. ●●● Mario tiene 11 años y es 4 años menor que y compran 12 botellas de 2 litros de naranja, su hermana. Entre los dos tienen 19 años menos 12 de limón y 12 de cola. que su madre. ¿Cuántos años tiene la madre? a) ¿Cuántos litros han comprado? b) i cada botella de 2 litros cuesta 2 €, S 120. ●● Se ha enseñado a un grupo de jóvenes ¿cuánto dinero se han gastado? a sembrar trigo. El primer día sembraron 125 kilos y el segundo día sembraron 130. ●● ● En España cada persona recicla, por el doble de kilos que el primero. término medio, 14 kg de vidrio cada año. a) Cuántos kilos sembraron el segundo día? ¿ a) i en España hay 40 millones de personas, S ¿cuántos kilos de vidrio se reciclan al año? b) Y entre los dos días? ¿ b) ara reciclar 680 000 000 000 kg, ¿cuántos kilos P 121. ●● Observa estos precios. más debería reciclar cada persona? Desde 400 € Desde 350 € hasta 600 € hasta 750 € Desde 200 € hasta 450 € a) ¿Se pueden adquirir los tres artículos 131. ●● El tablero del ajedrez es un cuadrado con 900 €? formado por 8 filas, con 8 cuadraditos en cada b) ¿Cuál es la cantidad mínima necesaria para fila. ¿Cuántos cuadraditos hay en total? comprar los tres artículos? 132. ●● Marta quiere saber cuántos c) ¿Cuánto sobra, con seguridad, si se dispone melocotones hay en el almacén. Para ello hace de 2 000 € para comprar los tres artículos? 5 montones con 5 cajas en cada montón, y en 122. ●● Un generador eléctrico consume 9 litros de cada caja, 5 filas con 5 melocotones en cada fila. gasolina a la hora y una bomba de agua 7 veces ¿Cuántos melocotones hay? más. ¿Cuántos litros consumen entre los dos al cabo de 4 horas? 123. ●● Cada fin de semana Luis recibe 6 € y se gasta 4 €. ¿Cuántas semanas han de pasar hasta que ahorre 18 €? 124. ●● Pedro tiene 79 € para comprar sillas. Sabiendo que cada una cuesta 7 €, ¿cuántas 133. ● ● Luis acaba de recibir cuatro cajas cuadradas sillas puede comprar? ¿Cuánto le sobra? llenas de vasos que debe colocar. La caja tiene cuatro filas y hay cuatro vasos 125. ●● Una botella de 1 litro de aceite cuesta 3 €. en cada fila. ¿Cuántos vasos tiene que colocar? Si la garrafa de 6 litros cuesta 12 €, ¿cuánto dinero nos ahorramos comprando garrafas? 134. ● ● ¿Cuántos azulejos necesita Jorge para cubrir 126. ●●● Un coche va a 110 km/h y otro a 97 km/h. una pared cuadrada, ¿Cuántos kilómetros le llevará de ventaja si en la primera fila el primer coche al segundo al cabo de 9 horas? ha colocado 5 azulejos? 23301279 _ 0006-0023.indd 23 08/07/11 20:30
24. 2 Divisibilidad Después del jueves…, otro jueves En la Navidad de 1582, Gregorio XIII atendía distante a un jesuita que estaba visiblemente alterado. –Ruego a Su Santidad –interpeló el jesuita, Christopher Clavius– que me conceda la autorización para justificar el cambio de calendario. ¡Las críticas han llegado al extremo de acusarnos de robarle 10 días al calendario! Gregorio XIII levantó la cabeza y respondió: –Eso no es más que un ataque de herejes e ignorantes. La Comisión de Sabios DESCUBRE LA HISTORIA... determinó que nuestros cálculos de la duración del año eran erróneos 1. Busca información y que nuestro calendario estaba sobre Christopher Clavius y su relación atrasado en 10 días. con el papa El Papa continuó: Gregorio XIII. –Al 4 de octubre de 1582 le siguió 2. Investiga qué el 15 de octubre, pero no robamos calendario se utilizaba hasta que se 10 días al calendario, sino que estableció recuperamos lo que el calendario el calendario actual anterior tomó sin corresponderle. y por qué se produjo De haber seguido así, habríamos la diferencia de terminado por celebrar 10 días al cambiarlo. la Navidad en verano. 3. Explica el criterio de divisibilidad que establece el calendario gregoriano para los años bisiestos.301279 _ 0024-0039.indd 24 08/07/11 20:35
Bibliografia
-http://www.slideshare.net/nomenterodelapataca/mates-1-eso-avanza-santillana
FÍSICA
Introducción a laFísica I.Carrera de Ingeniería Industrial.Este material servirá a los alumnos y alumnas de laCarrera de Ingeniería Industrial de la UniversidadPolitécnica y Artística del Paraguay, a conocer y ainterpretar los principios de la Física Moderna, queserán de utilidad en su vida y actividades profesionalesel día de mañana. Esperando que el presente materialsea de utilidad para ellos, lo preparé con el cariño quese merecen.Lic. Quím. Jorge Blas Ramírez González01/10/2012
2. Facultad de Artes y Tecnología. Carrera de Ingeniería Industrial.Tabla de contenidoFISICA I. .......................................................................................................................................... 4 Objetivo General del Curso: ...................................................................................................... 4 UNIDADES TEMATICAS A DESARROLLAR. ................................................................................. 5 Textos parar consultas: ............................................................................................................. 6CAPITULO I. – INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA. .................................................................................. 7 ¿Qué es la Física? ...................................................................................................................... 7 ¿Qué estudia la física?............................................................................................................... 9 Fenómenos físicos. .................................................................................................................. 10 Antecedentes históricos. ......................................................................................................... 10 Desarrollo de la física. ............................................................................................................. 11 La astronomía. ......................................................................................................................... 12 Grandes hombres de la física. ................................................................................................. 15 Arquímedes. ........................................................................................................................ 15 Galileo. ................................................................................................................................ 21 Képler. ................................................................................................................................. 23 Newton. ............................................................................................................................... 27 Carnot. ................................................................................................................................. 36 Joule. ................................................................................................................................... 37 Faraday. ............................................................................................................................... 39 Einstein. ............................................................................................................................... 41 Otros. ...................................................................................... ¡Error! Marcador no definido.Ilustraciones del Capítulo I – Introducción a la física. ................................................................. 53Física I – Carrera de Ingeniería Industrial Página 3UPAP – Sede Villeta.
3. FISICA IUNIVERSIDAD POLITECNICA Y ARTISTICA DEL PARAGUAY – SEDE VILLETAFISICA I.Objetivo General del Curso:Impartir a los estudiantes los conocimientos básicos sobre la física teórica que lespermitan comprender íntegramente los fenómenos físicos, relacionados con otrasciencias en especial aquellas relacionadas con el diseño y adecuación espacial de losedificios.Los alumnos serán capaces de inferir a partir de estos conocimientos otras situacionesde características científicas por medio del conocimiento y practica del métodocientífico. Se buscara destacar además la unidad que existe entre los diversos camposde la física aplicada y las demás disciplinas teóricas y prácticas que involucran la tareadel diseño y la construcción, haciendo notar su importancia y el alto grado deespecialización que puede alcanzarse en cada uno de ellos.Inculcar en los estudiantes el método de análisis cualitativo y cuantitativo en el estudiode los fenómenos físicos, incorporando estos conocimientos a la más correctaapreciación de cómo afectan estos fenómenos a las construcciones, desarrollando enellos esa capacidad investigativa y creativa.Luego de 2 (dos) semestres de estudios se pretende que los alumnos sean capaces dereconocer e, interpretar los fenómenos físicos y sus interacciones de tal forma a aplicarestos conocimientos a la tarea del diseño arquitectónico de un modo coherente conlas situaciones físicas del lugar, aprovechando las situaciones más favorables paradiseñar espacios arquitectónicos adecuados físicamente para la vida del hombreactual.Serán capaces además de poder encarar otros estudios de base científica aplicada a laarquitectura y la construcción, teniendo como base una solida formación en losconocimientos de los fenómenos físicos y el método de análisis cualitativo ycuantitativo de base científica.Página 4 Preparado por el Lic. Quím. Jorge Blas Ramírez González. Reg. Prof. N° 59 Cel. N° 0961 421 483 E – mail: jorgeblas69@gmail.com
4. Facultad de Artes y Tecnología. Carrera de Ingeniería Industrial.UNIDADES TEMATICAS A DESARROLLAR.Introducción a la física.¿Qué estudia la física? Fenómenos físicos. Antecedentes históricos. Desarrollo de lafísica. La astronomía. Grandes hombres de la física. Arquímedes. Galileo. Kepler.Newton. Carnot. Joule. Faraday. Einstein.Magnitudes.Tipos. Sistemas de unidades. Instrumentos de medición. Sistema métrico decimal.Sistema internacional. Conversión de unidades. Representaciones graficas y analíticasde los fenómenos físicos.Estática.Fundamentos de la estática. Magnitudes vectoriales. Vector. Calculo vectorial. Fuerza.Unidades. Resultante. Fuerzas colineales y concurrentes. Suma y resta de magnitudesvectoriales. Fuerza peso. Centro de gravedad. Principio de transmisibilidad de lasfuerzas. Principio de acción y reacción. Momento de una fuerza. Unidades. Par defuerzas o cupla. Teorema de Varignon. Equilibrio. Concepto. Condiciones generales deequilibrio. Estudio de un cuerpo en equilibrio.Dinámica.Concepto. Rozamiento. Plano inclinado. Unidad de aprendizaje: Dinámica.Fundamentos de la Dinámica. Contenidos de la unidad temática. Principiosfundamentales de la Dinámica. Aportes de Sir Isaac Newton a la dinámica de loscuerpos. Fuerzas. Concepto. Tipos de fuerza. Unidades. Fuerza peso. Equilibrio. Inercia.Concepto. Principio de inercia. 1ª Ley de Newton: Principio fundamental de ladinámica. 2ª Ley de Newton. Principio de acción y reacción. 3ª Ley de Newton.Rozamiento. Tipos. Por deslizamiento y rodadura. Tipos de fuerza de rozamiento.Estática y dinámica. Expresión de la fuerza de rozamiento.Hidrostática.Unidad de aprendizaje: Hidrostática. Conceptos fundamentales. Contenidos de launidad temática. Masa especifica. Peso especifico. Densidad relativa. Presiónhidrostática. Teorema fundamental de la hidrostática (Ley de Stevin). Experiencia deTorricelli para la medición de la presión atmosférica. Presión absoluta y presiónefectiva. Vasos comunicantes. Teorema de Pascal. Prensa hidráulica. Teorema deArquímedes. Cuerpos inmersos y flotantes. Ejercicios de aplicación para cada caso.Física I – Carrera de Ingeniería Industrial Página 5UPAP – Sede Villeta.
5. FISICA IUNIVERSIDAD POLITECNICA Y ARTISTICA DEL PARAGUAY – SEDE VILLETAHidrodinámica.Unidad de aprendizaje: Hidrodinámica. Conceptos fundamentales. Contenidos de launidad temática. Flujos. Tipos de flujos. Caudal. Ecuación. Unidades. Ecuación decontinuidad. Teorema de Bernoulli. Resolución de problemas de flujo.Óptica.Unidad de aprendizaje: Óptica física y geométrica. Conceptos fundamentales.Contenidos de la temática. Óptica geométrica. La luz. Origen. Espectroelectromagnético. Reflexión, refracción y difracción de la luz. Espejos planos. Imágenesformadas en un espejo plano. Espejos curvos. Cóncavo y convexo. Imágenes formadasen un espejo curvo. Lentes. Tipos de lentes. Construcción y posición de la imagen enlentes. Ejercicios de aplicación.Textos parar consultas: Física. Bonjorno – Bonjorno 1 – 2 – 3. Editorial FTD. Física I y II. Maizategui – Sábato. Editorial Kapeluz. Argentina. Física 4to, 5to, 6to. Ing. M. Domínguez. Centro Editorial Paraguayo. Curso de Física. Carlos R. Miguel. Editorial Troquel. Argentina. Física General. Van Der Merwe. Series Schaum. Mac Graw Hill. Física Fundamental I y II. Fernández y Galloni. Editorial Nigar SRL. Buenos Aires. Física. Stoolberg Hill. Fundamentos y fronteras. PCSA. Fundamentos de Física. Frank J. Blatt. Prentice Hall Hispanoamericana. México. Física General. Sears. Szemansky. Versión Española. Aguiar. Física General. Ing. Juan Goñi Galarza. Editorial Ingeniería. EIRL: Lima – Perú. Física. Mecánica y Termodinámica. Alonso Rojo. Fondo Educativo Interamericano.Página 6 Preparado por el Lic. Quím. Jorge Blas Ramírez González. Reg. Prof. N° 59 Cel. N° 0961 421 483 E – mail: jorgeblas69@gmail.com
6. Facultad de Artes y Tecnología. Carrera de Ingeniería Industrial.CAPITULO I. – INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA.¿Qué estudia la física? Fenómenos físicos. La arquitectura y la física, actualidad yfuturo. Antecedentes históricos. Desarrollo de la física. La astronomía. Grandeshombres de la física. Arquímedes. Galileo. Képler. Newton. Carnot. Joule. Faraday.Einstein. Otros.¿Qué es la Física? La física es una ciencia que estudia sistemáticamente los fenómenos naturales,tratando de encontrar las leyes básicas que los rigen. Utiliza las matemáticas como sulenguaje y combina estudios teóricos con experimentales para obtener las leyescorrectas. Se establece que una ley física es correcta cuando su comprobación daresultados positivos. La palabra física se deriva del vocablo griego physos, que significa naturaleza.Como todas las ciencias, ésta era inicialmente parte de la filosofía, es decir, formabaparte de la investigación dirigida a entender el mundo a través del análisis cuidadoso.La parte de esta disciplina que explora la condición humana se llama aún filosofía, peroaquélla dedicada al estudio de la naturaleza, inicialmente llamada filosofía natural, sebifurcó en varias ramas. Una de ellas es la física. Las leyes físicas establecen relaciones matemáticas entre los elementos de unsistema físico y su carácter de verdad científica tiene rangos de validez que sondeterminados por la experiencia. Por ejemplo, la mecánica de Newton es correcta siempre que los objetos adescribir se muevan con velocidades muy pequeñas comparadas con la de la luz.Mientras que la teoría especial de la relatividad de Einstein es válida para objetosmoviéndose a cualquier velocidad, incluso cercanas a la luz, pero deja de serlo cuandolas dimensiones espaciales involucradas son tan grandes que el carácter curvo delespacio empieza a manifestarse. Como resultado de lo anterior, la física es una ciencia en cambio permanentehacia una búsqueda de leyes con rangos de validez cada vez más amplios. Dentro delrango de validez de un conjunto de leyes físicas, éstas tienen carácter predictivo, esdecir, dadas determinadas condiciones experimentales, sabemos de antemano lo queva ocurrir. Así las teorías físicas tienen repercusiones tecnológicas, por ejemplo, todo eldesarrollo que gira en torno a la industria eléctrica descansa en el conocimiento previode las leyes fundamentales del electromagnetismo, sintetizadas en las ecuaciones deMaxwell. A la inversa, existen desarrollos tecnológicos con repercusiones en la física,como es el caso del mejoramiento de las bombas de vacío a partir de 1.855, lo cual dioFísica I – Carrera de Ingeniería Industrial Página 7UPAP – Sede Villeta.
7. FISICA IUNIVERSIDAD POLITECNICA Y ARTISTICA DEL PARAGUAY – SEDE VILLETAlugar a los tubos de vacío para albergar dispositivos en los cuales se produjeron losprimeros rayos X y rayos catódicos. Del estudio de estos últimos surgió eldescubrimiento del electrón. En términos sintéticos la física cuenta con cuatro pilares básicos, a saber: lamecánica clásica, cuyo propósito es estudiar las leyes que gobiernan el movimiento delos cuerpos; la electrodinámica clásica, dedicada al estudio de los fenómenos queinvolucran cargas electromagnéticas; la física cuántica, utilizada para describir elmundo macroscópico bajo la hipótesis de que están formados por cuerposmicroscópicos cuyas leyes conocemos; y la termodinámica y física estadística, utilizadapara estudiar a los sistemas formados por muchas partículas, como por ejemplo losfluidos (gases y líquidos). Sobre estos pilares descansan ramas de la física tan importantes como la teoríadel estado sólido, la óptica, la física molecular, la física de altas energías, etc. El edificiode conocimientos es tan amplio que los físicos llegan a entrar en contacto con temastan disímiles como: los organismos vivos o partes de ellos y como la estructura deluniverso. El próximo siglo avizora una ciencia física en contacto con problemasprovenientes de la química, la biología, la astronomía, las ciencias de la salud, etc.La física y otras ciencias. Como la naturaleza es única, la ciencia también lo es. Sin embargo, con el objetode facilitar su estudio, se ha dividido en varias ramas. La frontera entre estas ramas de la ciencia, es difícil de demarcar; el desarrollode cada una está ligado al avance de las otras ramas. Sin embargo, se destaca GalileoGalilei, quien estableció el método deductivo experimental, dando de esta formanacimiento a la ciencia moderna. Es así, como con la Física se estableció el métodocientífico de investigación y actualmente ningún avance puede realizarse sin susprocedimientos y contenidos. La Física: ciencia que estudia las propiedades de la materia y las leyes quetienden a modificar su estado o su movimiento sin cambiar su naturaleza. La Química: ciencia que estudia la naturaleza y las propiedades de los cuerpossimples, la acción molecular de los mismos y las combinaciones debidas a dichasacciones. La Biología: ciencia que estudia las leyes de la vida. La Astronomía: ciencia que trata de la posición, movimiento y constitución delos cuerpos celestes.Página 8 Preparado por el Lic. Quím. Jorge Blas Ramírez González. Reg. Prof. N° 59 Cel. N° 0961 421 483 E – mail: jorgeblas69@gmail.com
8. Facultad de Artes y Tecnología. Carrera de Ingeniería Industrial. La Geología: ciencia que tiene por objeto el estudio de la materia quecompone el globo terrestre, su naturaleza, su situación y las causas que la handeterminado. La Ingeniería: aplicación de las ciencias físico – matemáticas a la invención,perfeccionamiento y utilización de la técnica industrial.¿Qué estudia la física? La física estudia los cambios experimentados por los cuerpos que no afectan lanaturaleza o composición. Para estudiar los fenómenos físicos, los científicos organizansu trabajo en forma ordenada y sistemática. Este procedimiento recibe el nombre demétodo científico. El Método Científico tiene las siguientes fases: observación, formulación de unahipótesis, experimentación y formulación de una ley científica. La observación consiste en un examen atento de un fenómeno natural. Puedesobservar, por ejemplo, que una pelota aumenta suvelocidad a medida que cae hacia el suelo. Puedes tomarnotas sobre el tiempo que tarda en caer desde diferentesalturas, o sobre otros detalles que tengan interés. Estaobservación puede llevarte a plantear alguna pregunta y aintentar darle una respuesta, entonces estás elaborandouna hipótesis. Para comprobar que una hipótesis es cierta, tendrásque pasar a experimentarla. La experimentación consisteen la repetición del fenómeno observado encircunstancias diferentes, analizando y estudiando losresultados, como hizo Benjamín Franklin con la cometa y Ilustración 1. Experimento deel rayo. Benjamín Franklin con la cometa y el rayo. Si la hipótesis es correcta, se transforma en una teoría, que parece ser ciertasiempre. Cuando una teoría tiene éxito, se convierte en una ley científica. Dicha leyexplica y predice qué pasa siempre que se da cierto fenómeno. Las leyes de newton,por ejemplo, explican la caída de la pelota hacia el suelo. A lo largo de la historia de la ciencia se han revisado, corregido o ampliadoalguna de estas leyes, para explicar mejor un nuevo hecho observado. La teoría de larelatividad de Einstein es más precisa que las leyes de Newton, para explicar elmovimiento de un objeto que viaje a velocidades altas, próximas a la velocidad de laluz.Física I – Carrera de Ingeniería Industrial Página 9UPAP – Sede Villeta.
9. FISICA IUNIVERSIDAD POLITECNICA Y ARTISTICA DEL PARAGUAY – SEDE VILLETA Las leyes científicas pueden representarse, la mayoría de las veces, por lafórmula, que es una ecuación matemática que relaciona numéricamente las variablesque intervienen, y que nos permite calcular resultados sin tener que repetir la fase deexperimentación.Fenómenos físicos. Los procesos o fenómenos físicos son aquellos procesos en los que no cambia lacomposición de una sustancia, es decir, son aquellos cambios reversibles, ya que noocurren cambios de energía y se detectan por observación o por medición, no originannuevas sustancias en su proceso, por ejemplo: doblar o torcer un alambre Son aquellos que se distinguen a simple vista ya que no se modifica lacomposición química de la sustancia y no se forman nuevas sustancias. Por ejemplo elproceso de fusión o el de ebullición. Algunas características de muchos fenómenosfísicos son: Repetitividad. El fenómeno se puede repetir con las mismas sustancias iniciales. Reversibilidad. El cambio que experimenta la sustancia no es permanente.Antecedentes históricos. Desde los tiempos de los antiguos griegos, los filósofos han especulado que laaparente diversidad de apariencias oculta una subyacente unidad, y por lo tanto que lalista de las fuerzas puede ser acortada, de hecho que puede tener una sola entrada. Por ejemplo, la filosofía mecánica del siglo XVII propuso que todas las fuerzaspodrían en últimas reducirse a una fuerza de contacto entre pequeñas partículassólidas. Esto se abandonó después de la aceptación de las fuerzas gravitacionales alarga distancia propuestas por Isaac Newton; pero al mismo tiempo el trabajo deNewton en su Principia proveyeron la primera dramática evidencia empírica de launificación de fuerzas que en ese momento parecían diferentes: el trabajo de Galileoen la gravitación terrestre, las leyes de Kepler del movimiento planetario y losfenómenos de mareas fueron todas cuantitativamente explicadas por una simple ley,llamada de la gravitación universal. En 1820, Hans Christian Oersted descubrió una conexión entre la electricidad y elmagnetismo; muchas décadas de trabajo culminaron en la teoría delelectromagnetismo de James Clerk Maxwell. También durante los siglos XIX y XX,gradualmente fueron apareciendo muchos ejemplos de fuerzas de contacto,elasticidad, viscosidad, fricción, presión- resultados de las interacciones eléctricasentre pequeñísimas partículas de la materia.Página 10 Preparado por el Lic. Quím. Jorge Blas Ramírez González. Reg. Prof. N° 59 Cel. N° 0961 421 483 E – mail: jorgeblas69@gmail.com
10. Facultad de Artes y Tecnología. Carrera de Ingeniería Industrial. A finales de 1920, la nueva mecánica cuántica mostró que las interaccionesquímicas se trataban de fuerzas eléctricas (cuánticas), justificando lo que Dirac habíadicho sobre que las leyes físicas necesarias para la teoría matemática de una granparte de físicos y químicos eran entonces completamente conocidas. Los intentos de unificar gravedad con magnetismo se remontan a losexperimentos de 1849-50 de Michael Faraday. Después de la teoría gravitatoria (relatividad general) de Einstein publicada en1915, la búsqueda de una teoría del campo unificado que combine gravedad conelectromagnetismo se tornó más seria. Al mismo tiempo, se hizo plausible el decir queno existían más fuerzas fundamentales. Prominentes contribuciones fueron lasotorgadas por Gunnar Nordstrom, Hermann Weyl, Arthur Eddington, Theodor Kaluza,Oskar Klein, y la más notable dada por Einstein y sus colaboradores. Ninguna de estaspropuestas tuvo éxito. La búsqueda fue interrumpida por el descubrimiento de las fuerzas débil yfuerte, que no podían ser agregadas dentro de la gravedad o el electromagnetismo.Otro obstáculo fue la aceptación que la mecánica cuántica tuvo que ser incorporadadesde el inicio, no emergió como una consecuencia de la determinística teoríaunificada, como Einstein esperaba. Gravedad y Electromagnetismo pueden siemprecoexistir pacíficamente como tipos de fuerzas de Newton, pero por muchos años se haobservado que la gravedad no puede ser incorporada en el panorama cuántico,dejándola sola al unificarse con otras fuerzas fundamentales. Por esta razón estetrabajo de unificación en el siglo XX se focalizó en entender las tres fuerzas"cuánticas": electromagnetismo y las fuerzas nucleares débiles y fuertes. Las dosprimeras fueron unificadas en 1967-8 por Sheldon Glashow, Steven Weinberg, y AbdusSalam. Las fuerzas fuerte y la electrodébil coexisten en el modelo estándar departículas, pero se mantienen distintas. Muchas teorías unificadas (o GUT por sus siglasen inglés) han sido propuestas para unificarlas. Aunque la simpleza de las GUTs hansido descartadas en la experiencia, la idea general, especialmente cuando se vinculacon las supersimetrías, continúa firmemente a favor de la comunidad teórica de física.Desarrollo de la física.Física clásica: Se estima que en la fecha de 1880 casi toda la física ya estaba explicadamediante las leyes de Newton, las teorías de Maxwell sobre el electromagnetismo, ylas teorías termodinámicas de Bolzmann. Pero sin embargo, posterioresdescubrimientos abrirían una brecha en esa ficticia seguridad de conocimiento querevolucionaría el final del siglo XIX. En 1895 Conrad Roentgen descubre los rayos X, imperceptibles por la vistahumana, se abre así un mundo invisible al ser humano que continuó con elFísica I – Carrera de Ingeniería Industrial Página 11UPAP – Sede Villeta.
11. FISICA IUNIVERSIDAD POLITECNICA Y ARTISTICA DEL PARAGUAY – SEDE VILLETAdescubrimiento del electrón por Jhon Thomson y el descubrimiento de los rayoscatódicos de Michelson. Comenzaba una nueva era abierta a todo tipo de teorías ydiscusiones. Un nuevo desafío que marcaría las pautas y los antecedentes a la nuevafísica moderna.Física moderna: A principios del siglo XX aparecen dos nuevas teorías que cambiaron la forma decomprender el mundo de la física. Estas teorías fueron: - La teoría quántica. - La Relatividad.Física nuclear: Allá por los principios de la década de los años 30 se descubre el isótopo delhidrógeno, atribuido a Clayton Urey. Posteriormente los famosos estudios sobre la radiación artificial de manos delmatrimonio Irene y Frederic Curie concluyeron con la formación del primer núcleoradiactivo, año 1933, que revolucionaría el mundo de otras ciencias como la medicina,la química o su empleo en arqueología, etc. Pero no todos estos avances tenían connotaciones positivas para el ser humano.En 1945 se fabricó el primer reactor nuclear cuya finalidad era la de abastecer deenergía eléctrica, pero ese mismo año también se fabricó la primera bomba atómica, ala que le siguió la bomba de fusión o bomba de hidrógeno.Relación de la física con otras ciencias Se relaciona con ciencias naturales como: la biología, la química, geología,astronomía y medicina y también con las ciencias interdisciplinarias como: la biofísica,geofísica, y astrofísica.La astronomía. La astronomía es la ciencia que se compone del estudio de los cuerpos celestesdel Universo, incluidos los planetas y sus satélites, los cometas y meteoroides, lasestrellas y la materia interestelar, los sistemas de estrellas, gas y polvo llamadosgalaxias y los cúmulos de galaxias; por lo que estudia sus movimientos y los fenómenosligados a ellos. Su registro y la investigación de su origen viene a partir de lainformación que llega de ellos a través de la radiación electromagnética o de cualquierotro medio. La astronomía ha estado ligada al ser humano desde la antigüedad y todasPágina 12 Preparado por el Lic. Quím. Jorge Blas Ramírez González. Reg. Prof. N° 59 Cel. N° 0961 421 483 E – mail: jorgeblas69@gmail.com
12. Facultad de Artes y Tecnología. Carrera de Ingeniería Industrial.las civilizaciones han tenido contacto con esta ciencia. Personajes como Aristóteles,Tales de Mileto, Anaxágoras, Aristarco de Samos, Hiparco de Nicea, Claudio Ptolomeo,Hipatia de Alejandría, Nicolás Copérnico, Santo Tomás de Aquino, Tycho Brahe,Johannes Kepler, Galileo Galilei, han sido algunos de sus cultivadores. Es una de las pocas ciencias en las que los aficionados aún pueden desempeñarun papel activo, especialmente en el descubrimiento y seguimiento de fenómenoscomo curvas de luz de estrellas variables, descubrimiento de asteroides y cometas, etc. Etimológicamente, la palabra "astronomía" proviene del latín astronomĭa, que asu vez deriva del griego αστρονομία (astronomía compuesto por άςτρον astron«estrella» y seguido de νόμος nomos «regla, norma»). La mayor parte de las cienciasutilizan el sufijo griego λογια (logía «tratado, estudio»), como por ejemplocosmología y biología. De hecho, "astronomía" debía propiamente haberse llamado"astrología", pero esta denominación ha sido usurpada por la pseudociencia que hoyen día es conocida con dicho nombre. Por ello no debe confundirse la astronomía conla astrología. Aunque ambas comparten un origen común, son muy diferentes.Mientras que la astronomía es una ciencia estudiada a través del método científico, laastrología es una pseudociencia que sigue un sistema de creencias no probadas oabiertamente erróneas. En general se encarga de estudiar la supuesta influencia de losastros sobre la vida de los hombres. En casi todas las religiones antiguas existía la cosmogonía, que intentaba explicarel origen del universo, ligando éste a los elementos mitológicos. La historia de laastronomía es tan antigua como la historia del ser humano. Antiguamente se ocupaba,únicamente, de la observación y predicciones de los movimientos de los objetosvisibles a simple vista, quedando separada durante mucho tiempo de la Física. EnSajonia-Anhalt, Alemania, se encuentra el famoso Disco celeste de Nebra, que es larepresentación más antigua conocida de la bóveda celeste. Quizá fueron losastrónomos chinos quienes dividieron, por primera vez, el cielo en constelaciones. EnEuropa, las doce constelaciones que marcan el movimiento anual del Sol fuerondenominadas constelaciones zodiacales. Los antiguos griegos hicieron importantescontribuciones a la astronomía, entre ellas, la definición de magnitud. La astronomíaprecolombina poseía calendarios muy exactos y parece ser que las pirámides de Egiptofueron construidas sobre patrones astronómicos muy precisos. A pesar de la creencia común, los griegos sabían de la redondez y la esfericidadde la Tierra. No pasó desapercibido para ellos el hecho de que la sombra de la Tierraproyectada en la Luna era redonda, ni que su superficie es obviamente esférica puestoque, entre otras razones, no se ven las mismas constelaciones en el norte delMediterráneo que en el sur. En el modelo aristotélico lo celestial pertenecía a laperfección -"cuerpos celestes perfectamente esféricos moviéndose en órbitascirculares perfectas"-, mientras que lo terrestre era imperfecto; estos dos reinos seconsideraban como opuestos. Aristóteles defendía la teoría geocéntrica paradesarrollar sus postulados. Fue probablemente Eratóstenes quien diseñara la esferaFísica I – Carrera de Ingeniería Industrial Página 13UPAP – Sede Villeta.
13. FISICA IUNIVERSIDAD POLITECNICA Y ARTISTICA DEL PARAGUAY – SEDE VILLETAarmilar que es un astrolabio para mostrar el movimiento aparente de las estrellasalrededor de la tierra. La astronomía observacional estuvo casi totalmente estancada en Europadurante la Edad Media, a excepción de algunas aportaciones como la de Alfonso X elSabio con sus tablas alfonsíes, o los tratados de Alcabitius, pero floreció en el mundocon el Imperio persa y la cultura árabe. Al final del siglo X, un gran observatorio fueconstruido cerca de Teherán (Irán), por el astrónomo persa Al-Khujandi, quien observóuna serie de pasos meridianos del Sol, lo que le permitió calcular la oblicuidad de laeclíptica. También en Persia, Omar Khayyam elaboró la reforma del calendario que esmás preciso que el calendario juliano acercándose al Calendario Gregoriano. A finalesdel siglo IX, el astrónomo persa Al-Farghani escribió ampliamente acerca delmovimiento de los cuerpos celestes. Su trabajo fue traducido al latín en el siglo XII.Abraham Zacuto fue el responsable en el siglo XV de adaptar las teorías astronómicasconocidas hasta el momento para aplicarlas a la navegación de la marina portuguesa.Ésta aplicación permitió a Portugal ser la puntera en el mundo de los descubrimientosde nuevas tierras fuera de Europa.Revolución científica Durante siglos, la visión geocéntrica de que el Sol y otros planetas girabanalrededor de la Tierra no se cuestionó. Esta visión era lo que para nuestros sentidos seobservaba. En el Renacimiento, Nicolás Copérnico propuso el modelo heliocéntrico delSistema Solar. Su trabajo De Revolutionibus Orbium Coelestium fue defendido,divulgado y corregido por Galileo Galilei y Johannes Kepler, autor de HarmonicesMundi, en el cual se desarrolla por primera vez la tercera ley del movimientoplanetario. Galileo añadió la novedad del uso del telescopio para mejorar sus observaciones.La disponibilidad de datos observacionales precisos llevó a indagar en teorías queexplicasen el comportamiento observado. Al principio sólo se obtuvieron reglas ad-hoc, cómo las leyes del movimiento planetario de Kepler, descubiertas a principios delsiglo XVII. Fue Isaac Newton quien extendió hacia los cuerpos celestes las teorías de lagravedad terrestre y conformando la Ley de la gravitación universal, inventando así lamecánica celeste, con lo que explicó el movimiento de los planetas y consiguiendo unirel vacío entre las leyes de Kepler y la dinámica de Galileo. Esto también supuso laprimera unificación de la astronomía y la física. Tras la publicación de los Principios Matemáticos de Isaac Newton (que tambiéndesarrolló el telescopio reflector), se transformó la navegación marítima. A partir de1670 aproximadamente, utilizando instrumentos modernos de latitud y los mejoresrelojes disponibles se ubicó cada lugar de la Tierra en un planisferio o mapa,calculando para ello su latitud y su longitud. La determinación de la latitud fue fácilpero la determinación de la longitud fue mucho más delicada. Los requerimientos de lanavegación supusieron un empuje para el desarrollo progresivo de observacionesPágina 14 Preparado por el Lic. Quím. Jorge Blas Ramírez González. Reg. Prof. N° 59 Cel. N° 0961 421 483 E – mail: jorgeblas69@gmail.com
14. Facultad de Artes y Tecnología. Carrera de Ingeniería Industrial.astronómicas e instrumentos más precisos, constituyendo una base de datos crecientepara los científicos. A finales del siglo XIX se descubrió que, al descomponer la luz del Sol, se podíanobservar multitud de líneas de espectro (regiones en las que había poca o ninguna luz).Experimentos con gases calientes mostraron que las mismas líneas podían serobservadas en el espectro de los gases, líneas específicas correspondientes adiferentes elementos químicos. De esta manera se demostró que los elementosquímicos en el Sol (mayoritariamente hidrógeno) podían encontrarse igualmente en laTierra. De hecho, el helio fue descubierto primero en el espectro del Sol y sólo mástarde se encontró en la Tierra, de ahí su nombre. Se descubrió que las estrellas eran objetos muy lejanos y con el espectroscopiose demostró que eran similares al Sol, pero con una amplia gama de temperaturas,masas y tamaños. La existencia de la Vía Láctea como un grupo separado de estrellasno se demostró sino hasta el siglo XX, junto con la existencia de galaxias externas y,poco después, la expansión del universo, observada en el efecto del corrimiento alrojo. La astronomía moderna también ha descubierto una variedad de objetos exóticoscomo los quásares, púlsares, radiogalaxias, agujeros negros, estrellas de neutrones, yha utilizado estas observaciones para desarrollar teorías físicas que describen estosobjetos. La cosmología hizo grandes avances durante el siglo XX, con el modelo del BigBang fuertemente apoyado por la evidencia proporcionada por la astronomía y lafísica, como la radiación de fondo de microondas, la Ley de Hubble y la abundanciacosmológica de los elementos químicos. Durante el siglo XX, la espectrometría avanzó, en particular como resultado delnacimiento de la física cuántica, necesaria para comprender las observacionesastronómicas y experimentales.Grandes hombres de la física.Arquímedes. Arquímedes de Siracusa (en griego antiguoἈρχιμήδησ) (Siracusa (Sicilia), ca. 287 a. C. – ibídem,ca. 212 a. C.) fue un matemático griego, físico,ingeniero, inventor y astrónomo. Aunque se conocenpocos detalles de su vida, es considerado uno de loscientíficos más importantes de la antigüedad clásica. Ilustración 2. Arquímedes en la tinaja.Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática yla explicación del principio de la palanca. Es reconocido por haber diseñadoinnovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes, quelleva su nombre. Experimentos modernos han probado las afirmaciones de queFísica I – Carrera de Ingeniería Industrial Página 15UPAP – Sede Villeta.
15. FISICA IUNIVERSIDAD POLITECNICA Y ARTISTICA DEL PARAGUAY – SEDE VILLETAArquímedes llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua oprenderles fuego utilizando una serie de espejos. Se considera que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de laantigüedad y, en general, de toda la historia. Usó el método exhaustivo para calcular elárea bajo el arco de una parábola con el sumatorio de una serie infinita, y dio unaaproximación extremadamente precisa del número Pi. También definió la espiral quelleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y uningenioso sistema para expresar números muy largos. Arquímedes murió durante el sitio de Siracusa (214–212 a. C.), cuando fueasesinado por un soldado romano, a pesar de que existían órdenes de que no se lehiciese ningún daño. A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arquímedes no fueronmuy conocidos en la antigüedad. Los matemáticos de Alejandría lo leyeron y lo citaron,pero la primera compilación integral de su obra no fue realizada hasta c. 530 d. C. porIsidoro de Mileto. Los comentarios de las obras de Arquímedes escritas por Eutocio enel siglo VI las abrieron por primera vez a un público más amplio. Las relativamentepocas copias de trabajos escritos de Arquímedes que sobrevivieron a través de la EdadMedia fueron una importante fuente de ideas durante el Renacimiento, mientras queel descubrimiento en 1906 de trabajos desconocidos de Arquímedes en el Palimpsestode Arquímedes ha ayudado a comprender cómo obtuvo sus resultados matemáticos. Hay pocos datos fiables sobre la vida de Arquímedes. Sin embargo, todas lasfuentes coinciden en que era natural de Siracusa y que murió durante el desenlace delsitio de Siracusa. Arquímedes nació c. 287 a. C. en el puerto marítimo de Siracusa(Sicilia, Italia), ciudad que en aquel tiempo era una colonia de la Magna Grecia.Conociendo la fecha de su muerte, la aproximada fecha de nacimiento está basada enuna afirmación del historiador bizantino Juan Tzetzes, que afirmó que Arquímedesvivió hasta la edad de 75 años. Según una hipótesis de lectura basada en un pasajecorrupto de El contador de arena -cuyo título en griego es ψαμμίτησ (Psammites)-,Arquímedes menciona el nombre de su padre, Fidias, un astrónomo. Plutarco escribió en su obra Vidas paralelas (Vida de Marcelo, 14, 7) queArquímedes estaba emparentado con el tirano Hierón II de Siracusa. Se sabe que unamigo de Arquímedes, Heráclides, escribió una biografía sobre él pero este libro no seconserva, perdiéndose así los detalles de su vida. Se desconoce, por ejemplo, si algunavez se casó o tuvo hijos. Entre los pocos datos ciertos, sobre su vida, Diodoro Sículo nos aporta uno segúnla cual es posible que Arquímedes, durante su juventud, estudiase en Alejandría, enEgipto. El hecho de que Arquímedes se refiera en sus obras a científicos cuya actividadse desarrollaba en esa ciudad, abona la hipótesis: de hecho, Arquímedes se refiere aConon de Samos como su amigo en Sobre la esfera y el cilindro, y dos de sus trabajosPágina 16 Preparado por el Lic. Quím. Jorge Blas Ramírez González. Reg. Prof. N° 59 Cel. N° 0961 421 483 E – mail: jorgeblas69@gmail.com
16. Facultad de Artes y Tecnología. Carrera de Ingeniería Industrial.(El Método de los Teoremas Mecánicos y el Problema del Ganado) están dedicados aEratóstenes de Cirene. Arquímedes murió c. 212 a. C. durante la Segunda Guerra Púnica, cuando lasfuerzas romanas al mando del general Marco Claudio Marcelo capturaron la ciudad deSiracusa después de un asedio de dos años de duración. Arquímedes se distinguióespecialmente durante el sitio de Siracusa, en el que desarrolló armas para la defensade la ciudad. Polibio, Plutarco, y Tito Livio describen, precisamente, su labor en ladefensa de la ciudad como ingeniero, desarrollando piezas de artillería y otrosartefactos capaces de mantener a raya al enemigo. Plutarco, en sus relatos, llega adecir que los romanos se encontraban tan nerviosos con los inventos de Arquímedesque la aparición de cualquier viga o polea en las murallas de la ciudad era suficientecomo para provocar el pánico entre los sitiadores. Arquímedes fue asesinado al final del asedio por un soldado romano,contraviniendo las órdenes del general romano, Marcelo, de respetar la vida del granmatemático griego. Existen diversas versiones de la muerte de Arquímedes: Plutarco,en su relato, nos da hasta tres versiones diferentes. De acuerdo con su relato máspopular, Arquímedes estaba contemplando un diagrama matemático cuando la ciudadfue tomada. Un soldado romano le ordenó ir a encontrarse con el General, peroArquímedes hizo caso omiso a esto, diciendo que tenía que resolver antes el problema.El soldado, enfurecido ante la respuesta, mató a Arquímedes con su espada. Sinembargo, Plutarco también brinda otros dos relatos menos conocidos de la muerte deArquímedes, el primero de los cuales sugiere que podría haber sido asesinadomientras intentaba rendirse ante un soldado romano, y mientras le pedía más tiempopara poder resolver un problema en el que estaba trabajando. De acuerdo con latercera historia, Arquímedes portaba instrumentos matemáticos, y fue asesinadoporque el soldado pensó que eran objetos valiosos. Tito Livio, por su parte, se limita adecir que Arquímedes estaba inclinado sobre unos dibujos que había trazado en elsuelo cuando un soldado que desconocía quién era, le mató. En cualquier caso, segúntodos los relatos, el general Marcelo se mostró furioso ante la muerte de Arquímedes,debido a que lo consideraba un valioso activo científico, y había ordenado previamenteque no fuera herido. Las últimas palabras atribuidas a Arquímedes fueron "No molestes mis círculos",en referencia a los círculos en el dibujo matemático que supuestamente estabaestudiando cuando lo interrumpió el soldado romano. La frase es a menudo citada enlatín como "Noli turbare circulos meos", pero no hay evidencia de que Arquímedespronunciara esas palabras y no aparecen en los relatos de Plutarco. Cicerón describe la tumba de Arquímedes, que habría visitado, e indica quesobre ella se había colocado una esfera inscrita dentro de un cilindro. Arquímedeshabía probado que el volumen y el área de la esfera son dos tercios de los del cilindro,incluyendo sus bases, lo cual consideró el más grande de sus descubrimientosmatemáticos. En el año 75 a. C., 137 años después de su muerte, el orador romanoFísica I – Carrera de Ingeniería Industrial Página 17UPAP – Sede Villeta.
17. FISICA IUNIVERSIDAD POLITECNICA Y ARTISTICA DEL PARAGUAY – SEDE VILLETACicerón estaba sirviendo como cuestor en Sicilia y escuchó historias acerca de la tumbade Arquímedes, pero ninguno de los locales fue capaz de decirle dónde se encontrabaexactamente. Finalmente, encontró la tumba cerca de la puerta de Agrigento enSiracusa, en una condición descuidada y poblada de arbustos. Cicerón limpió la tumba,y así fue capaz de ver la talla y leer algunos de los versos que se habían escrito en ella. Los relatos sobre Arquímedes fueron escritos por los historiadores de la antiguaRoma mucho tiempo después de su muerte. El relato de Polibio sobre el asedio aSiracusa en su obra Historias (libro VIII) fue escrito alrededor de setenta años despuésde la muerte de Arquímedes, y fue usado como fuente de información por Plutarco yTito Livio. Este relato ofrece poca información sobre Arquímedes como persona, y seenfoca en las máquinas de guerra que se decía que había construido para defender laciudadLa corona dorada Una de las anécdotas más conocidas sobre Arquímedes cuenta cómo inventó unmétodo para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular. De acuerdocon Vitruvio, Hierón II ordenó la fabricación de una nueva corona con forma de coronatriunfal, y le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba hecha sólo de oro o si,por el contrario, un orfebre deshonesto le había agregado plata en su realización.Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podíafundirla y convertirla en un cuerpo regular para calcular su masa y volumen, a partir deahí, su densidad. Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en labañera cuando entraba, y así se dio cuenta de que ese efecto podría ser usado paradeterminar el volumen de la corona. Debido a que el agua no se puede comprimir, lacorona, al ser sumergida, desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen.Al dividir el peso de la corona por el volumen de agua desplazada se podría obtener ladensidad de la corona. La densidad de la corona sería menor que la densidad del oro siotros metales menos densos le hubieran sido añadidos. Cuando Arquímedes, duranteel baño, se dio cuenta del descubrimiento, se dice que salió corriendo desnudo por lascalles, y que estaba tan emocionado por su hallazgo que olvidó vestirse. Según elrelato, en la calle gritaba "¡Eureka!" (en griego antiguo: "εὕρηκα" que significa "¡Lo heencontrado!") Sin embargo, la historia de la corona dorada no aparece en los trabajosconocidos de Arquímedes. Además, se ha dudado que el método que describe lahistoria fuera factible, debido a que habría requerido un nivel de exactitud extremopara medir el volumen de agua desplazada. En lugar de esto, Arquímedes podría haber buscado una solución en la queaplicaba el principio de la hidrostática conocido como el principio de Arquímedes,descrito en su tratado Sobre los cuerpos flotantes. Este principio plantea que todocuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje de abajo hacia arriba igual alpeso del líquido desalojado. Usando este principio, habría sido posible comparar laPágina 18 Preparado por el Lic. Quím. Jorge Blas Ramírez González. Reg. Prof. N° 59 Cel. N° 0961 421 483 E – mail: jorgeblas69@gmail.com
18. Facultad de Artes y Tecnología. Carrera de Ingeniería Industrial.densidad de la corona dorada con la de oro puro al usar una balanza. Situando en unlado de la balanza la corona objeto de la investigación y en el otro una muestra de oropuro del mismo peso, se procedería a sumergir la balanza en el agua; si la coronatuviese menos densidad que el oro, desplazaría más agua debido a su mayor volumeny experimentaría un mayor empuje que la muestra de oro. Esta diferencia deflotabilidad inclinaría la balanza como corresponde. Galileo creía que este método era"probablemente el mismo que usó Arquímedes, debido a que, además de ser muyexacto, se basa en demostraciones descubiertas por el propio Arquímedes". Alrededordel año 1586, Galileo Galilei inventó una balanza hidrostática para pesar metales enaire y agua que aparentemente estaría inspirada en la obra de Arquímedes.El Siracusia y el tornillo de Arquímedes Una gran parte del trabajo de Arquímedes en el campo de la ingeniería surgiópara satisfacer las necesidades de su ciudad natal, Siracusa. El escritor griego Ateneode Náucratis cuenta que Hierón II le encargó a Arquímedes el diseño de un enormebarco, el Siracusia, que construyó Arquias de Corinto bajo su supervisión. El barcopodía ser usado para viajes lujosos, cargar suministros y como barco de guerra.Finalmente su nombre fue cambiado por el de Alejandría, cuando fue enviado comoregalo, junto a un cargamento de grano, al rey Ptolomeo III de Egipto. Se dice que el Siracusia fue el barco más grande de la antigüedad clásica. SegúnAteneo, era capaz de cargar 600 personas e incluía entre sus instalaciones jardinesdecorativos, un gimnasio y un templo dedicado a la diosa Afrodita. Debido a que unbarco de esta envergadura dejaría pasar grandes cantidades de agua a través delcasco, el tornillo de Arquímedes supuestamente fue inventado a fin de extraer el aguade la sentina. La máquina de Arquímedes era un mecanismo con una hoja con formade tornillo dentro de un cilindro. Se hacía girar a mano, y también podía utilizarse paratransferir agua desde masas de aguas bajas a canales de irrigación. De hecho, eltornillo de Arquímedes sigue usándose hoy en día para bombear líquidos y sólidossemifluidos, como carbón, hielo y cereales. El tornillo de Arquímedes, tal como lodescribió Marco Vitruvio en los tiempos de Roma, puede haber sido una mejora deltornillo de bombeo que fue usado para irrigar los jardines colgantes de Babilonia.Otros descubrimientos e invenciones Si bien Arquímedes no inventó la palanca, sí escribió la primera explicaciónrigurosa conocida del principio que entra en juego al accionarla. Según Pappus deAlejandría, debido a su trabajo sobre palancas comentó: "Denme un punto de apoyo ymoveré el mundo". (en griego: δῶ μοι πᾶ ςτῶ καὶ τὰν γᾶν κινάςω) Plutarco describe σcómo Arquímedes diseñó el sistema de polipasto, permitiendo a los marineros usar elprincipio de palanca para levantar objetos que, de otro modo, hubieran sidodemasiado pesados como para moverlos.Física I – Carrera de Ingeniería Industrial Página 19UPAP – Sede Villeta.
19. FISICA IUNIVERSIDAD POLITECNICA Y ARTISTICA DEL PARAGUAY – SEDE VILLETA También se le ha acreditado a Arquímedes haber aumentado el poder y laprecisión de la catapulta, así como haber inventado el odómetro durante la PrimeraGuerra Púnica. El odómetro fue descrito como un carro con un mecanismo deengranaje que tiraba una bola en un contenedor después de cada milla recorrida.Además, en el intento de medir la dimensión aparente del sol, utilizando una reglagraduada, Arquímedes, para tratar de reducir la imprecisión de la medida, probó amedir el diámetro de la pupila del ojo humano. Utilizando ese dato en sus cálculoslogró una estimación mejor del diámetro solar. Cicerón (106 a. C.–43 a. C.) menciona a Arquímedes brevemente en su diálogoDe re publica, en el cual describe una conversación ficticia en el año 129 a. C.. Se diceque, después de la captura de Siracusa c. 212 a. C., el General Marco Claudio Marcelollevó de vuelta a Roma dos mecanismos que se usaban como herramientas paraestudios astronómicos, que mostraban los movimientos del Sol, la Luna y cincoplanetas. Cicerón menciona mecanismos similares diseñados por Tales de Mileto yEudoxo de Cnidos. El diálogo dice que Marcelo guardó uno de los mecanismos como subotín personal de Siracusa y donó el otro al Templo de la Virtud en Roma. De acuerdoa Cicerón, Cayo Sulpicio Galo hizo una demostración del mecanismo de Marcelo, y lodescribió así:Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat Cuando Galo movió el globo, ocurrió que laut soli luna totidem conversionibus in aere Luna siguió al Sol tantas vueltas en ese inventoillo quot diebus in ipso caelo succederet, ex de bronce como en el cielo mismo, por lo quequo et in caelo sphaera solis fieret eadem también en el cielo el globo solar llegó a tenerilla defectio, et incideret luna tum in eam ese mismo alejamiento, y la Luna llegó a esametam quae esset umbra terrae, cum sol e posición en la cual estaba su sombra sobre laregione. Tierra, cuando el Sol estaba en línea. Esta descripción corresponde a la de un planetario. Pappus de Alejandría dijo queArquímedes había escrito un manuscrito (ahora perdido) acerca de la construcción deestos mecanismos que se titulaba "Sobre hacer esferas". Investigaciones modernas enesta área se han enfocado en el mecanismo de Antiquitera, otro mecanismo de laantigüedad clásica probablemente diseñado con el mismo propósito. Construirmecanismos de este tipo debería haber requerido un sofisticado conocimiento deengranajes diferenciales y se solía pensar que esto iba más allá del alcance de latecnología disponible en esos tiempos, pero el descubrimiento del mecanismo deAntiquitera en 1902 vino a confirmar que esta clase de artefactos eran conocidos porlos antiguos griegos.Página 20 Preparado por el Lic. Quím. Jorge Blas Ramírez González. Reg. Prof. N° 59 Cel. N° 0961 421 483 E – mail: jorgeblas69@gmail.com
20. Facultad de Artes y Tecnología. Carrera de Ingeniería Industrial.Galileo. Galileo Galilei (Pisa, 15 de febrero de 1564 -Florencia, 8 de enero de 1642), fue un astrónomo,filósofo, matemático y físico italiano que estuvorelacionado estrechamente con la revolucióncientífica. Eminente hombre del Renacimiento,mostró interés por casi todas las ciencias y artes(música, literatura, pintura). Sus logros incluyen lamejora del telescopio, gran variedad deobservaciones astronómicas, la primera ley delmovimiento y un apoyo determinante para elcopernicanismo. Ha sido considerado como el Ilustración 3. Galileo enseñando al dux de«padre de la astronomía moderna», el «padre de la Venecia el uso del telescopio.física moderna» y el «padre de la ciencia». Fresco de Giuseppe Bertini (1825-1898). Su trabajo experimental es considerado complementario a los escritos de FrancisBacon en el establecimiento del moderno método científico y su carrera científica escomplementaria a la de Johannes Kepler. Su trabajo se considera una ruptura de lasteorías asentadas de la física aristotélica y su enfrentamiento con la Inquisiciónromana de la Iglesia Católica Romana suele presentarse como el mejor ejemplo deconflicto entre religión y ciencia en la sociedad occidental. En 1583 Galileo se inicia en la matemática por medio de Ostilio Ricci, un amigode la familia, alumno de Tartaglia. Ricci tenía la costumbre, rara en esa época, de unirla teoría a la práctica experimental. Atraído por la obra de Euclides, sin ningún interés por la medicina y todavíamenos por las disputas escolásticas y la filosofía aristotélica, Galileo reorienta susestudios hacia las matemáticas. Desde entonces, se siente seguidor de Pitágoras, dePlatón y de Arquímedes y opuesto al aristotelismo. Todavía estudiante, descubre la leyde la isocronía de los péndulos, primera etapa de lo que será el descubrimiento de unanueva ciencia: la mecánica. Dentro de la corriente humanista, redacta también unpanfleto feroz contra el profesorado de su tiempo. Toda su vida, Galileo rechazará elser comparado a los profesores de su época, lo que le supondrá numerosos enemigos. Dos años más tarde, retorna a Florencia sin diploma, pero con grandesconocimientos y una gran curiosidad científica.Invención del telescopio En mayo de 1609, Galileo recibe de París una carta del francés Jacques Badovere,uno de sus antiguos alumnos, quien le confirma un rumor insistente: la existencia deun telescopio que permite ver los objetos lejanos. Fabricado en Holanda, estetelescopio habría permitido ya ver estrellas invisibles a simple vista. Con esta únicaFísica I – Carrera de Ingeniería Industrial Página 21UPAP – Sede Villeta.
21. FISICA IUNIVERSIDAD POLITECNICA Y ARTISTICA DEL PARAGUAY – SEDE VILLETAdescripción, Galileo, que ya no da cursos a Cosme II de Médicis, construye su primertelescopio. Al contrario que el telescopio holandés, éste no deforma los objetos y losaumenta 6 veces, o sea el doble que su oponente. También es el único de la época queconsigue obtener una imagen derecha gracias a la utilización de una lente divergenteen el ocular. Este invento marca un giro en la vida de Galileo. El 21 de agosto, apenas terminado su segundo telescopio (aumenta ocho onueve veces), lo presenta al Senado de Venecia. La demostración tiene lugar en la cimadel Campanile de la plaza de San Marco. Los espectadores quedan entusiasmados:ante sus ojos, Murano, situado a 2 km y medio, parece estar a 300 m solamente. Galileo ofrece su instrumento y lega los derechos a la República de Venecia, muyinteresada por las aplicaciones militares del objeto. En recompensa, es confirmado depor vida en su puesto de Padua y sus emolumentos se duplican. Se libera por fin de lasdificultades financieras. Sin embargo, contrario a sus alegaciones, no dominaba la teoría óptica y losinstrumentos fabricados por él son de calidad muy variable. Algunos telescopios sonprácticamente inutilizables (al menos en observación astronómica). En abril de 1610,en Bolonia, por ejemplo, la demostración del telescopio es desastrosa, como así loinforma Martin Horky en una carta a Kepler. Galileo reconoció en marzo de 1610 que, entre más de 60 telescopios que habíaconstruido, solamente algunos eran adecuados. Numerosos testimonios, incluido el deKepler, confirman la mediocridad de los primeros instrumentos.La observación de la Luna Durante el otoño, Galileo continuó desarrollando su telescopio. En noviembre,fabrica un instrumento que aumenta veinte veces. Emplea tiempo para volver sutelescopio hacia el cielo. Rápidamente, observando las fases de la Luna, descubre queeste astro no es perfecto como lo quería la teoría aristotélica. La física aristotélica, queposeía autoridad en esa época, distinguía dos mundos: El mundo «sublunar», que comprende la Tierra y todo lo que se encuentra entre la Tierra y la Luna; en este mundo todo es imperfecto y cambiante; El mundo «supralunar», que comienza en la Luna y se extiende más allá. En esta zona, no existen más que formas geométricas perfectas (esferas) y movimientos regulares inmutables (circulares). Galileo, por su parte, observó una zona transitoria entre la sombra y la luz, elterminador, que no era para nada regular, lo que por consiguiente invalidaba la teoríaaristotélica y afirma la existencia de montañas en la Luna. Galileo incluso estima sualtura en 7000 metros, más que la montaña más alta conocida en la época. Hay quedecir que los medios técnicos de la época no permitían conocer la altitud de lasPágina 22 Preparado por el Lic. Quím. Jorge Blas Ramírez González. Reg. Prof. N° 59 Cel. N° 0961 421 483 E – mail: jorgeblas69@gmail.com
22. Facultad de Artes y Tecnología. Carrera de Ingeniería Industrial.montañas terrestres sin fantasías. Cuando Galileo publica su Sidereus Nuncius piensaque las montañas lunares son más elevadas que las de la Tierra, si bien en realidad sonequivalentes. Galileo permanece confinado en su residencia en su casa de Florencia desdediciembre de 1633 a 1638. Allí recibe algunas visitas, lo que le permitió que alguna desus obras en curso de redacción pudiera cruzar la frontera. Estos libros aparecieron enEstrasburgo y en París en traducción latina. En 1636, Luis Elzevier recibe un boceto de los Discursos sobre dos nuevasciencias de la parte del maestro florentino. Éste es el último libro que escribirá Galileo;en él establece los fundamentos de la mecánica en tanto que ciencia y que marca así elfin de la física aristotélica. Intenta también establecer las bases de la resistencia de losmateriales, con menos éxito. Terminará este libro a lo justo, puesto que el 4 de julio de1637 pierde el uso de su ojo derecho. El 2 de enero de 1638, Galileo pierde definitivamente la vista. Por suerte, DinoPeri ha recibido la autorización para vivir en casa de Galileo para asistirlo junto con elpadre Ambrogetti que tomará nota de la sexta y última parte de los Discursos. Estaparte no aparecerá hasta 1718. La obra completa aparecerá en julio de 1638 en Leiden(Países Bajos) y en París. Será leída por las más grandes personalidades de la época.Descartes por ejemplo enviará sus observaciones a Mersenne, el editor parisino. Galileo, entre tanto, ha recibido la autorización de instalarse cerca del mar, en sucasa de San Giorgio. Permanecerá allí hasta su muerte, rodeado de sus discípulos(Viviani, Torricelli, Peri, etc.), trabajando en la astronomía y otras ciencias. A fines de1641, Galileo trata de aplicar la oscilación del péndulo a los mecanismos del reloj. Unos días más tarde, el 8 de enero de 1642, Galileo muere en Arcetri a la edadde 77 años. Su cuerpo es inhumado en Florencia el 9 de enero. Un mausoleo seráerigido en su honor el 13 de marzo de 1736 en la iglesia de la Santa Cruz de Florencia.Képler. Johannes Kepler (Weil der Stadt,Alemania, 27 de diciembre de 1571 -Ratisbona, Alemania, 15 de noviembrede 1630), figura clave en la revolucióncientífica, astrónomo y matemáticoalemán; fundamentalmente conocidopor sus leyes sobre el movimiento de los Ilustración 4. Johannes Kepler, astrónomo y matemático alemán del siglo XVI.planetas en su órbita alrededor del Sol.Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien sustituyó como matemático imperial deRodolfo II.Física I – Carrera de Ingeniería Industrial Página 23UPAP – Sede Villeta.
23. FISICA IUNIVERSIDAD POLITECNICA Y ARTISTICA DEL PARAGUAY – SEDE VILLETA En 1935 la UAI decidió en su honor llamarle «Kepler» a un astroblema lunar. Kepler nació en el seno de una familia de religión protestante luterana, instaladaen la ciudad de Weil der Stadt en Baden-Wurtemberg, Alemania. Su abuelo había sidoel alcalde de la ciudad, pero cuando nació Kepler, la familia se encontraba endecadencia. Su padre, Heinrich Kepler, era mercenario en el ejército del Duque deWürttemberg y, siempre en campaña, raramente estaba presente en su domicilio. Sumadre, Katherina Gulden mann, que llevaba una casa de huéspedes, era unacurandera y herborista, la cual más tarde fue acusada de brujería. Kepler, nacidoprematuramente a los siete meses de embarazo, e hipocondríaco de naturalezaendeble, sufrió toda su vida una salud frágil. A la edad de tres años, contrae la viruela,lo que, entre otras secuelas, debilitará su vista severamente. A pesar de su salud, fueun niño brillante que gustaba impresionar a los viajeros en el hospedaje de su madrecon sus fenomenales facultades matemáticas. Heinrich Kepler tuvo además otros tres hijos: Margarette, de la que Kepler sesentía muy próximo, Christopher, que le fue siempre antipático, y Heinrich. De 1574 a1576, vivió con Heinrich –un epiléptico– en casa de sus abuelos mientras que su padreestaba en una campaña y su madre se había ido en su búsqueda. Al regresar sus padres, Kepler se trasladó a Leonberg y entra en la escuela latinaen 1577. Sus padres le hicieron despertar el interés por la astronomía. Con cinco años,observó el cometa de 1577, comentando que su madre lo llevó a un lugar alto paraverlo. Su padre le mostró a la edad de nueve años el eclipse de luna del 31 de enero de1580, recordando que la Luna aparecía bastante roja. Kepler estudió más tarde elfenómeno y lo explicó en una de sus obras de óptica. Su padre partió de nuevo para laguerra en 1589, desapareciendo para siempre. Kepler terminó su primer ciclo de tres años en 1583, retardado debido a suempleo como jornalero agrícola, entre nueve y once años. En 1584, entró en elSeminario protestante de Adelberg y dos años más tarde, al Seminario superior deMaulbronn. Obtuvo allí su diploma de fin de estudios e ingresó en 1589 a la universidad deTubinga. Allí, comenzó primeramente por estudiar la ética, la dialéctica, la retórica,griego, el hebreo, la astronomía y la física, y luego más tarde la teología y las cienciashumanas. Continuó allí con sus estudios después de obtener una maestría en 1591. Suprofesor de matemáticas, el astrónomo Michael Maestlin, le enseñó el sistemaheliocéntrico de Copérnico que se reservaba a los mejores estudiantes. Los otrosestudiantes tomaban como cierto el sistema geocéntrico de Ptolomeo, que afirmabaque la Tierra estaba inmóvil y ocupaba el centro del Universo, y que el Sol, la Luna, losplanetas y las estrellas, giraban a su alrededor. Kepler se hizo así un copernicanoconvencido y mantuvo una relación muy estrecha con su profesor; no vaciló en pedirleayuda o consejo para sus trabajos.Página 24 Preparado por el Lic. Quím. Jorge Blas Ramírez González. Reg. Prof. N° 59 Cel. N° 0961 421 483 E – mail: jorgeblas69@gmail.com
24. Facultad de Artes y Tecnología. Carrera de Ingeniería Industrial. Mientras que Kepler planeaba hacerse ministro luterano, la escuela protestantede Graz buscaba a un profesor de matemáticas. Abandonó entonces sus estudios enteología para tomar el puesto y dejó Tubinga en 1594. En Graz, publicó almanaquescon predicciones astrológicas –que los realizaba– aunque él negaba algunos de suspreceptos. En la época, la distinción entre ciencia y creencia no estaba establecidatodavía claramente y el movimiento de los astros, todavía bastante desconocido, seconsideraba gobernado por leyes divinas. Kepler estuvo casado dos veces. El primer matrimonio, de conveniencia, el 27 deabril de 1597 con Barbara Müller. En el año 1600, fue obligado a abandonar Austriacuando el archiduque Fernando promulgó un edicto contra los protestantes. Enoctubre de ese mismo año se trasladó a Praga, donde fue invitado por Tycho Brahe,quien había leído algunos trabajos de Kepler. Al año siguiente, Tycho Brahe falleció yKepler lo sustituyó en el cargo de matemático imperial de Rodolfo II y trabajófrecuentemente como consejero astrológico. En 1612 falleció su esposa Barbara Müller, al igual que dos de los cinco niños –deedades de apenas uno y dos meses– que habían tenido juntos. Este matrimonio,organizado por sus allegados, lo unió a una mujer "grasa y simple de espíritu", concarácter execrable. Otro de sus hijos murió a la edad de siete años. Sólo su hijaSusanne y su hijo Ludwig sobrevivieron. Al año siguiente, en Linz, se casó con SusanneReuttinger con la que tuvo siete niños, de los que tres fallecerán muy temprano. En 1615, su madre, entonces a la edad de 68 años, fue acusada de brujería.Kepler, persuadido de su inocencia, fue a pasar seis años asegurando su defensa antelos tribunales y escribiendo numerosos alegatos. Debió, dos veces, regresar aWurtemberg. Ella pasó un año encerrada en la torre de Güglingen a expensas deKepler habiendo escapado por poco de la tortura. Finalmente, fue liberada el 28 deseptiembre de 1621. Debilitada por los duros años de proceso y de encarcelamiento,murió seis meses más tarde. En 1628 Kepler pasó al servicio de A. von Wallenstein, enSilesia, quien le prometió, en vano, resarcirle de la deuda contraída con él por laCorona a lo largo de los años. Un mes antes de morir, víctima de la fiebre, Keplerabandonó Silesia en busca de un nuevo empleo. Kepler murió en 1630 en Ratisbona, en Baviera, Alemania, a la edad de 59 años. En 1632, durante la Guerra de los Treinta Años, el ejército sueco destruyó sutumba y se perdieron sus trabajos hasta el año 1773. Recuperados por Catalina II deRusia, se encuentran actualmente en el Observatorio de Pulkovo en San Petersburgo,Rusia.Las tres leyes de Kepler Durante su estancia con Tycho le fue imposible acceder a los datos de losmovimientos aparentes de los planetas ya que Tycho se negaba a dar esa información.Física I – Carrera de Ingeniería Industrial Página 25UPAP – Sede Villeta.
25. FISICA IUNIVERSIDAD POLITECNICA Y ARTISTICA DEL PARAGUAY – SEDE VILLETAYa en el lecho de muerte de Tycho y después a través de su familia, Kepler accedió alos datos de las órbitas de los planetas que durante años se habían ido recolectando.Gracias a esos datos, los más precisos y abundantes de la época, Kepler pudo irdeduciendo las órbitas reales planetarias. Afortunadamente, Tycho se centró enMarte, con una elíptica muy acusada, de otra manera le hubiera sido imposible aKepler darse cuenta de que las órbitas de los planetas eran elípticas. InicialmenteKepler intentó el círculo, por ser la más perfecta de las trayectorias, pero los datosobservados impedían un correcto ajuste, lo que entristeció a Kepler ya que no podíasaltarse un pertinaz error de ocho minutos de arco. Kepler comprendió que debíaabandonar el círculo, lo que implicaba abandonar la idea de un "mundo perfecto". Deprofundas creencias religiosas, le costó llegar a la conclusión de que la tierra era unplaneta imperfecto, asolado por las guerras, en esa misma misiva incluyó la cita clave:"Si los planetas son lugares imperfectos, ¿por qué no deben de serlo las órbitas de lasmismas?". Finalmente utilizó la fórmula de la elipse, una rara figura descrita porApolonio de Pérgamo una de las obras salvadas de la destrucción de la biblioteca deAlejandría. Descubrió que encajaba perfectamente en las mediciones de Tycho. Había descubierto la primera ley de Kepler: Los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los 2 focos que contiene la elipse. Después de ese importante salto, en donde por primera vez los hechos seanteponían a los deseos y los prejuicios sobre la naturaleza del mundo. Kepler sededicó simplemente a observar los datos y sacar conclusiones ya sin ninguna ideapreconcebida. Pasó a comprobar la velocidad del planeta a través de las órbitasllegando a la segunda ley: Las áreas barridas por los radios de los planetas, son proporcionales al tiempo empleado por estos en recorrer el perímetro de dichas áreas. Durante mucho tiempo, Kepler solo pudo confirmar estas dos leyes en el restode planetas. Aun así fue un logro espectacular, pero faltaba relacionar las trayectoriasde los planetas entre sí. Tras varios años, descubrió la tercera e importantísima ley delmovimiento planetario: El cuadrado de los períodos de la órbita de los planetas es proporcional al cubo de la distancia promedio al Sol. Esta ley, llamada también ley armónica, junto con las otras leyes permitía yaunificar, predecir y comprender todos los movimientos de los astros. Marcando un hitoen la historia de la ciencia, Kepler fue el último astrólogo y se convirtió en el primerastrónomo, desechando la fe y las creencias y explicando los fenómenos por la meraobservación.Página 26 Preparado por el Lic. Quím. Jorge Blas Ramírez González. Reg. Prof. N° 59 Cel. N° 0961 421 483 E – mail: jorgeblas69@gmail.com
Bibliografia
-http://www.slideshare.net/yoryichempy1/fisica-i-unidad-i-introduccion-a-la-fisica?qid=26d89b77-0841-4bb7-ac67-9f358ab6d539&v=qf1&b=&from_search=1

Académico Luis Pillajo

jueves, 8 de mayo de 2014

Matemática Y Física.

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